Grupo cíclico de orden 15

Question

Estoy repasando para el GRE de matemáticas (hace más de 8 años que tomé álgebra abstracta) y me encontré con esta pregunta:

Un grupo cíclico de orden 15 tiene un elemento $x$ tal que el conjunto $\{x^3, x^5, x^9 \}$ tiene exactamente dos elementos. El número de elementos del conjunto $\{x^{13n}: n \text{ a positive integer } \}$ ¿Es qué?

¿Puede alguien indicarme cómo enfocar este problema, y qué conceptos están en juego aquí?

Answer 1

Usted tiene $3$ posibilidades:

$$x^3=x^5 \Rightarrow x^2=e \,.$$

En este caso, ya que $x^{15}=e$ se deduce que $x=e$ , lo cual no es posible (ya que sólo se obtiene un valor en el conjunto).

$$x^5=x^9 \Rightarrow x^4=e \,.$$

De nuevo, esto implica que $x=e$ No es posible.

$$x^3=x^9 \Rightarrow x^6=e \,.$$

Así, $x^3=x^{\operatorname{gcd}(6,15)}=e$ . Esto significa que $x$ debe tener orden $1$ o $3$ pero de nuevo $x=e$ no es posible.

Así, $x$ es un elemento de orden $3$ en su grupo, y a partir de ahí es fácil: $x^{13n}=x^{13m} \Leftrightarrow 3|13(m-n) \Leftrightarrow 3|m-n$ ... Entonces, ¿cuántos valores distintos se obtienen?

Answer 2

Si un elemento $a$ genera todo el grupo, entonces considera $x=a^5$ . Entonces tienes $x^3=e=\text{the identity}$ y $x^9=e$ .

Answer 3

El orden de $x^{13}$ es el mismo que el orden de $x$ porque $\gcd(13,15)=1$ . Como ya han mencionado otros, $x$ tiene el orden 3. Por lo tanto, el conjunto tiene 3 elementos.