Es este un desconocido patrón de los números primos?

Question

Estoy tratando de averiguar si el patrón que he encontrado sobre doble de los números primos es un patrón conocido o no. Resulta que con cada conjunto de dos números primos, si el mayor de los dos números es convertida a base 7, y entonces el individuo dígitos del número se suman y se añaden continuamente juntos hasta un 1 o un número de 2 dígitos es de sobras, el número es siempre igual a 6 mod +1.

El menor de los dos números es siempre 6 -1 mod con el mismo cálculo.

Ejemplos:

Camas (base 10)/ camas (radix 7)/ [suma de los dígitos 2 dígitos]/ MOD 6

• 59 / 113 / 5 / 5

• 71 / 131 / 5 / 5

• 101 / 203 / 5 / 5

• 107 / 212 / 5 / 5

• 137 / 254 / 11 / 5

• 149 / 302 / 5 / 5

• 179 / 344 / 11 / 5

• 191 / 362 / 11 / 5

• 197 / 401 / 5 / 5

• 227 / 443 / 11 / 5

• 239 / 461 / 11 / 5

• 269 / 533 / 11 / 5

• 281 / 551 / 11 / 5

• 311 / 623 / 11 / 5

• 347 / 1004 / 5 / 5

• 419 / 1136 / 11 / 5

• 431 / 1154 / 11 / 5

• 461 / 1226 / 11 / 5

• 521 / 1343 / 11 / 5

• 569 / 1442 / 11 / 5

• 599 / 1514 / 11 / 5

• 617 / 1541 / 11 / 5

• 641 / 1604 / 11 / 5

• 659 / 1631 / 11 / 5

• 809 / 2234 / 11 / 5

• 821 / 2252 / 11 / 5

• 827 / 2261 / 11 / 5

• 857 / 2333 / 11 / 5

• 881 / 2366 / 17 / 5

• 1019 / 2654 / 17 / 5

• 1031 / 3002 / 5 / 5

• 1049 / 3026 / 11 / 5

• 1061 / 3044 / 11 / 5

• 1091 / 3116 / 11 / 5

• 1151 / 3233 / 11 / 5

• 1229 / 3404 / 11 / 5

• 1277 / 3503 / 11 / 5

• 1289 / 3521 / 11 / 5

• 1301 / 3536 / 17 / 5

• 1319 / 3563 / 17 / 5

• 1427 / 4106 / 11 / 5

• 1451 / 4142 / 11 / 5

• 1481 / 4214 / 11 / 5

• 1487 / 4223 / 11 / 5

• 1607 / 4454 / 17 / 5

• 1619 / 4502 / 11 / 5

• 963426767 / 32605664252 / 41 / 5

• 963427259 / 32605665554 / 47 / 5

• 963427301 / 32605665644 / 47 / 5

• 963427559 / 32605666463 / 47 / 5

• 963427919 / 32606000516 / 29 / 5

• 963428021 / 32606001023 / 23 / 5

• 963428099 / 32606001164 / 29 / 5

• 963428561 / 32606002424 / 29 / 5

• 963428861 / 32606003333 / 29 / 5

• 963428957 / 32606003531 / 29 / 5

• 963429167 / 32606004251 / 29 / 5

• 963430019 / 32606006606 / 35 / 5

• 963430079 / 32606010023 / 23 / 5

• 963430289 / 32606010443 / 29 / 5

• 963431177 / 32606013152 / 29 / 5

• 963431321 / 32606013446 / 35 / 5

• 963431477 / 32606014061 / 29 / 5

• 963431717 / 32606014553 / 35 / 5

• 963432131 / 32606016014 / 29 / 5

• 963432917 / 32606021216 / 29 / 5

• 963432989 / 32606021351 / 29 / 5

• 963433319 / 32606022332 / 29 / 5

• 963433439 / 32606022563 / 35 / 5

• 963433697 / 32606023412 / 29 / 5

• 963434411 / 32606025452 / 35 / 5

• 963434579 / 32606026112 / 29 / 5

• 963434609 / 32606026154 / 35 / 5

• 963434891 / 32606030036 / 29 / 5

• 963435227 / 32606031026 / 29 / 5

• 963435491 / 32606031554 / 35 / 5

• 963436037 / 32606033264 / 35 / 5

• 963436601 / 32606035031 / 29 / 5

• 963437261 / 32606036663 / 41 / 5

• 963437399 / 32606040251 / 29 / 5

• 963437927 / 32606041634 / 35 / 5

• 963437939 / 32606041652 / 35 / 5

• 963438017 / 32606042123 / 29 / 5

• 963438041 / 32606042156 / 35 / 5

Superior doble (base 10)/ Superior twin (radix 7)/ [suma de los dígitos 2 dígitos]/ MOD 6

• 571 / 1444 / 13 / 1

• 601 / 1516 / 13 / 1

• 619 / 1543 / 13 / 1

• 643 / 1606 / 13 / 1

• 661 / 1633 / 13 / 1

• 811 / 2236 / 13 / 1

• 823 / 2254 / 13 / 1

• 829 / 2263 / 13 / 1

• 859 / 2335 / 13 / 1

• 883 / 2401 / 7 / 1

• 1021 / 2656 / 19 / 1

• 1033 / 3004 / 7 / 1

• 1051 / 3031 / 7 / 1

• 1063 / 3046 / 13 / 1

• 1093 / 3121 / 7 / 1

• 1153 / 3235 / 13 / 1

• 1231 / 3406 / 13 / 1

• 1279 / 3505 / 13 / 1

• 1291 / 3523 / 13 / 1

• 1303 / 3541 / 13 / 1

• 1321 / 3565 / 19 / 1

• 1429 / 4111 / 7 / 1

• 1453 / 4144 / 13 / 1

• 1483 / 4216 / 13 / 1

• 961750903 / 32555514331 / 37 / 1

• 961751209 / 32555515246 / 43 / 1

• 961752301 / 32555521366 / 43 / 1

• 961752349 / 32555521465 / 43 / 1

• 961752553 / 32555522206 / 37 / 1

• 961753789 / 32555525623 / 43 / 1

• 961753831 / 32555526013 / 37 / 1

• 961754011 / 32555526361 / 43 / 1

• 961754071 / 32555526505 / 43 / 1

• 961754461 / 32555530603 / 37 / 1

• 961755019 / 32555532331 / 37 / 1

• 961757059 / 32555541304 / 37 / 1

• 961757311 / 32555542114 / 37 / 1

• 961757431 / 32555542345 / 43 / 1

• 961757683 / 32555543155 / 43 / 1

• 961758673 / 32555546101 / 37 / 1

• 961759111 / 32555550265 / 43 / 1

• 961759483 / 32555551336 / 43 / 1

• 961759831 / 32555552344 / 43 / 1

• 961759861 / 32555552416 / 43 / 1

• 961760119 / 32555553235 / 43 / 1

• 961760719 / 32555555053 / 43 / 1

• 961761013 / 32555555653 / 49 / 1

• 961761139 / 32555556223 / 43 / 1

• 961761343 / 32555556634 / 49 / 1

• 961761403 / 32555560051 / 37 / 1

• 961761571 / 32555560411 / 37 / 1

• 961762033 / 32555561641 / 43 / 1

• 961762591 / 32555563366 / 49 / 1

Tengo otras preguntas relacionadas con los números primos, pero primero quiero ver cómo válida o conocido esta parte es antes de continuar. Yo no soy un matemático.

Answer 1

$$\begin{align} d_0 + 7d_1 + 7^2 d_2 + 7^3 d_3 + \cdots & \equiv d_0 + 1d_1 + 1^2 d_2 + 1^3 d_3+\cdots & &\mod 6 \\[10pt] & \equiv d_0 + d_1 + d_2 + d_3 + \cdots & & \mod 6 \end{align}$$

Lo que está en juego aquí es algo que dice que si $a\equiv A\bmod 6$$b\equiv B\bmod 6$$ab\equiv AB\bmod6$. Demostrando que requiere de un poco de álgebra básica. La aplicación que aquí tenemos a $7\equiv 1;$ por lo tanto $7\times7\equiv 1\times 1,$ etc.

El hecho de que el doble de los números primos son siempre de la forma$6n\pm1,$, además de los hechos mencionados conducen a la conclusión de que el modelo que hemos identificado persistirá.