Demostrar que las potencias de cualquier primo fijo $p$ contienen un número arbitrario de dígitos iguales consecutivos.

Question

Demostrar que las potencias de cualquier primo fijo $p$ contienen un número arbitrario de dígitos iguales consecutivos.

Es una reedición intuitiva de Baltic Way 2012 (creo que todos los años hay listas de finalistas en Baltic Way y esta es una parte de la lista de 2012):

Demostrar que, para cada primo $p$ y entero positivo $a$ existe un número entero positivo $n$ tal que $p^n$ contiene $a$ dígitos iguales consecutivos.

Es difícil y no he encontrado una solución en Internet.

Answer 1

Aún es más cierto: los dígitos iniciales de $p^n$ puede ser cualquier secuencia que desee. Tenga en cuenta que $$\text{the leading digits of }p^n\text{ are }\overline m$$ es lo mismo que decir $$\overline m\cdot 10^k\leq p^n<(\overline m+1)\cdot 10^k\text{ for some }k\geq0.$$ Equivalentemente, $$\log_{10}(\overline m)\leq n\log_{10}(p)-k<\log_{10}(\overline m+1).$$

De hecho, hay infinidad de ellas. $n,k$ porque $\log_p(10)$ es irracional y, por tanto, el conjunto $\{n\log_p(10)-k\mid n,k\in\mathbb N\}$ es denso en $\mathbb R$ . (Véase esta pregunta .)

Por ejemplo $\overline m=\underbrace{33\ldots333}_{a\text{ times}}$ .