La prueba de una Combinación de la fórmula $ \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}$

Question

La prueba de una Combinación de la fórmula $\displaystyle \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}$

$\bf{My Try}$::$\displaystyle{\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}=}$

$\displaystyle{\frac{\left(n-1\right)!}{k!\left(n-k-1\right)!}+\frac{\left(n-1\right)!}{\left(k-1\right)!\left(n-k\right)!}=}$

$\displaystyle{\frac{\left(n-1\right)!}{k\,\left(k-1\right)!\left(n-k-1\right)!}+\frac{\left(n-1\right)!}{\left(k-1\right)!\left(n-k-1\right)!\,\left(n-k\right)}}=$

$\displaystyle \frac{(n-1)!}{(k-1)!\cdot (n-k-1)!}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{n-k}\right) = \binom{n}{k}$

Mi Pregunta es Cómo puedo probar el uso de combinacional argumento

Ayuda Requerida

Gracias

Answer 1

Dado $n$ personas podemos formar un comité de tamaño $k$ ${n\choose k}$ maneras. Podemos contar la misma cosa por contar el número de maneras en que la persona $x$ está en el comité de la persona y $x$ no está en el comité. El número de maneras en persona $x$ no está en el comité es ${n-1\choose k}$. Tenemos $n-1$ a las personas a trabajar, ya estamos excluyendo la posibilidad de la persona $x$ estar en el comité. El número de maneras en persona $x$ está en el comité es ${n-1\choose k-1}$. Tenemos $n-1$ personas para trabajar desde la persona $x$ es en la comisión por omisión y elegimos $k-1$ de la gente porque la persona $x$ está en el comité. Por lo tanto ${n\choose k}={n-1\choose k}+{n-1\choose k-1}$.

Answer 2

Un bitstring es una cadena de ceros y unos. Conteste las siguientes preguntas. Para las tres primeras preguntas, expresar la respuesta en la forma de un coeficiente binomial.

(A) ¿Cuál es el número de bitstrings de longitud $n$ que contiene exactamente $k$?

(B) ¿Cuál es el número de bitstrings de longitud $n$ que contiene exactamente $k$ queridos y empezar de cero?

(C) ¿Cuál es el número de bitstrings de longitud $n$ que contiene exactamente $k$ queridos y comenzando con un uno?

(D) ¿por qué la respuesta a (A) es la suma de las respuestas (B) y (C)?