Las ecuaciones de movimiento de desplazamiento de campo

Question

Disponemos de una acción: $$S[\boldsymbol{u}] = \frac{1}{2} \int dt \int d^3x \left\{ \mu (\frac{\partial u_{i}}{\partial t})^{2} - \nu (u_{ii})^{2} - \rho(u_{ij})^{2}\right\} $$

Donde $u_{ij} = (\partial_{i}u_{j} + \partial_{j} u_{i} )/2$.

Donde el índice de $i = 1,2,3$ denota la $x$ $y$ y $z$ eje y no es de suma sobre índices repetidos.

Este modelos tridimensionales en celosía de conectado springs en el continuum límite. Quiero derivar las ecuaciones de movimiento de este sistema y de la relación de dispersión.

Utilizando la ecuación EL que obtengo:

$$\mu\partial_{tt}u_{1} - \nu \partial_{11}u_{1} - \rho \partial_{12}u_{1} - \rho \partial_{13}u_{1} - \rho \partial_{21}u_{2} - \rho \partial_{31}u_{3} = 0. $$

Y lo mismo para $u_{2}$$u_{3}$. Es esto correcto y si es así, ¿cómo puedo resolver estas ecuaciones para obtener las ecuaciones de movimiento? También, ¿cómo puedo encontrar la relación de dispersión para este sistema?

Answer 1

Respuesta parcial :

Definir las funciones de $u_i(p) = u_i(p^0,p^1,p^2,p^3)$ como la transformada de Fourier de las funciones de $u_i(x)$

Luego tomar la transformada de Fourier de sus tres Euler-Lagrange las ecuaciones. Usted obtener tres ecuaciones del tipo :

$A_{11}(p)u_1(p) + A_{12}(p) u_2(p) + A_{13}(p)u_3(p) = 0$

(Las funciones de $A_{ij}(p)$ son funciones cuadráticas de la $p^i$)

El sistema de 3 ecuaciones no trivial solución de $u_i(p)$ si y sólo el determinante det $A$ es cero.

det $A = 0$ da la relación de dispersión, debido a que es una relación entre el $p^i$.

A partir de estas 3 ecuaciones, tal vez usted es capaz de encontrar una expresión manejable para el $u_i(p)$, tal vez tratando de expresión como $u_i(p) = B_{ijk}p^j p^k \Phi(p)$, e introduciendo esta expresión en la 3 ecuaciones (que de hecho ahora son linealmente dependientes, por lo que sólo puede elegir 2 de las 3 ecuaciones) puede llevar a ser capaz de extraer la $B_{ijk}$ desde el cuarto grado de las ecuaciones en el $p^i$ (pero esto es sólo una suposición).