Dejemos que $X,Y$ ser r.v. en $\Omega$ . ¿Existen para todas las leyes $\pi$ en $\mathbb R^2$ con los marginales $\mu_x,\mu_Y$ , un r.v. $Z$ s.t. $\pi=\mu_Z$ ?

Question

Fijar un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ y que $X,Y:\Omega\to\mathbb R$ sean variables aleatorias con leyes $\mu_X,\mu_Y$ respectivamente. Sea $\pi$ sea una medida de probabilidad sobre $\mathbb R^2$ con distribuciones marginales $\mu_X,\mu_Y$ . ¿Existe una variable aleatoria $Z:\Omega\to\mathbb R^2$ tal que $\mu_Z=\pi$ ?

Intuitivamente esto parece cierto, y si es cierto, parece algo que sería un hecho clásico bien conocido en probabilidad. Sin embargo, no he leído ninguna afirmación de este tipo en ningún sitio.

Answer 1

No necesariamente. Dejemos que $\Omega = \{0,1\}$ tener dos puntos y que la medida de probabilidad asigne igual peso a ambos. Sea $X$ y $Y$ sea la función de inclusión en $\mathbb R.$ Entonces se trata de dos variables aleatorias con la distribución de Beroulli $p=1/2.$ Pero está bastante claro que no podemos, por ejemplo, hacer una VR $Z:\Omega\to \mathbb R^2$ que tiene la distribución de $(Z_1,Z_2)$ donde $Z_1, Z_2$ son Bernoulli independientes con $p=1/2$ desde $(Z_1,Z_2)$ puede tomar como máximo dos valores.