Límite de una función $f_n=\frac{x^2}{x^2+(1-nx)^2}$

Question

Deje $\displaystyle f_n=\frac{x^2}{x^2+(1-nx)^2}$ donde: ( $0\le x\le 1,\; n=1,2,3,...$ )

A continuación,$|f_n(x)| \le M$.
Encontrar esta $M$.

La respuesta es $1$.
Sin ningún tipo de restricción de n, ¿cómo podemos saber que bound?

Answer 1

Deje $\frac{x^2}{x^2+(1-nx)^2}=y$

o $x^2(y+yn^2-1)-2nyx+y=0$

Como $x$ es real, $(2ny)^2\ge 4y(y+yn^2-1)$

$\implies y^2-y\le 0\implies y(y-1)\le 0\implies 0\le y\le 1$