Necesito probar $$ \Gamma ( \alpha +x) \Gamma ( \beta +y) \leq C( \alpha ; \beta ) \Gamma (x+y),$$ para $x> \alpha $ y $y> \beta $ con $0< \alpha , \beta \leq \frac {1}{2}$ constantes, y $C( \alpha , \beta )$ es una constante que depende de $ \alpha $ y $ \beta $ . Supongo que esto se sostiene a partir de cálculos numéricos y necesito el caso específico en el que $ \alpha = \frac {1}{6}$ y $ \beta = \frac {1}{2}$ . Probablemente tiene algo que ver con el hecho de que $$ \Gamma (x) \Gamma (y) \leq \Gamma (x+y-1),$$ para $x,y \geq1 $ que sé que es cierto para los naturales, como $$ \Gamma (x) \Gamma (y)=(x-1)!(y-1)! \leq (x+y-2)!= \Gamma (x+y-1),$$ que se puede probar con la inducción, pero tampoco puedo probar para el caso general en el que $x,y \in\mathbb {R}$ . Cualquier ayuda, sugerencia o prueba a cualquiera de las desigualdades es de gran ayuda. ¡Gracias de antemano!
Respuesta
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Esto no es cierto para ningún positivo $ \alpha , \beta $ sin más hipótesis sobre $x$ y $y$ . Fijar positivo $y< \alpha $ y dejar que $x \rightarrow \infty $ . Entonces el lado izquierdo es una constante de veces $ \Gamma (x+ \alpha )$ y el lado derecho es una constante $ \Gamma (x+y)$ ; así que la desigualdad deseada afirmaría que $ \Gamma (x+ \alpha )/ \Gamma (x+y)$ está limitada. Pero de hecho (usando la fórmula asintótica de Stirling para $ \Gamma (z)$ por ejemplo) esta proporción $ \Gamma (x+ \alpha )/ \Gamma (x+y)$ es asintótica a $x^{ \alpha -y} \rightarrow \infty $ como $x \rightarrow \infty $ .
En cambio, la desigualdad $$ \Gamma (x) \, \Gamma (y) \leq \Gamma (x+y-1) $$ se puede probar que es real $x,y \geq 1$ de la siguiente manera. La igualdad se mantiene cuando $x=1$ o $y=1$ ; Afirmo que de otra manera $ \Gamma (x) \, \Gamma (y) < \Gamma (x+y-1)$ . Arreglar $y>1$ . Se sabe que la función Gamma es logarítmicamente convexa hacia arriba. Por lo tanto $ \Gamma (x+y-1)/ \Gamma (x)$ es una función creciente de $x$ . Porque es igual a $ \Gamma (y)$ para $x=1$ que excede $ \Gamma (y)$ para todos $x>1$ , y hemos terminado.
