Calcular el $\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n}-n)$.

Question

Introducción:

Un ejercicio de "Principios de Análisis matemático, tercera edición" por Rudin, página 78.

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Ejercicio:

Calcular el $\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n}-n)$.

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Explicación:

Tengo un tiempo difícil comprender cómo manejar los límites como esta. No sé cómo empezar y qué buscar. He comprobado con mathematica y la respuesta debería ser $\frac{1}{2}$, y por supuesto tengo la respuesta equivocada. Me parece límites inesperados. En el libro, se probó que "los límites de algunas secuencias que ocurren con frecuencia". Los límites que se probaron fueron:

(a) Si $p>0$ $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^p}=0$

(b) Si $p>0$ $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{p}=1$

(c) $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$

(d) Si $p>0$ $\alpha$ es real, entonces la $\lim_{n\to\infty}\frac{n^\alpha}{(1+p)^n}=0$

(e) Si $|x|<1$,$\lim_{n\to\infty}x^n=0$.

Cuando probaron todos los anteriores teoremas se sentía como se utiliza el hecho de que ellos sabían de los límites. Por ejemplo:

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La prueba de (b): Si $p>1$, puesto $x_n=\sqrt[n]{p}-1$. A continuación, $x_n>0$ y por el teorema del binomio,

$$1+nx_n\leq(1+x_n)^n=p$$

de modo que $$0<x_n\leq\frac{p-1}{n}.$$

Por lo tanto $x_n\to 0$. Y así sucesivamente...

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Que es, creo que se utiliza el hecho de que el límite es de 1 cuando pusieron $x_n=\sqrt[n]{p}-1$. Antes de calcular un límite ¿tengo que adivinar? ¿Cómo puedo hacer para que cuando yo no creo que esto es intuitivo? Tiene usted algún consejo de cómo hacer cuando usted deberá hacer frente a un problema como este? ¿Cómo se inicia cuando se desea calcular un límite?

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Solución:

Esta es la forma en que lo hice:

$\sqrt{n^2+n}-n=\sqrt{n}\sqrt{n-1}-n=\sqrt{n}(\sqrt{n-1}-\sqrt{n})$.

Desde $$(\sqrt{n-1}-\sqrt{n})\to 0\text{ when }n\to\infty.$$

El producto enfoques $0$. Que obviamente no es cierto. Me hizo darse cuenta de esto después de un tiempo. Dado que uno de los factor crece muy grande, mientras que el otro se pone muy pequeño y supongo que tienden a tomar unos a los otros, así que es bastante claro que no se aproxima a 0, pero no creo que es claro que debe acercarse a $\frac{1}{2}$. Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Sugerencia: multiplicar y dividir por $(\sqrt{n^2+n}+n)$.

Answer 2

El uso de $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ a modificar la expresión:

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2+n} - n = \lim_{n \to \infty} {(\sqrt{n^2+n} - n) (\sqrt{n^2+n} + n )\over \sqrt{n^2+n} + n } = \lim_{n \to \infty} {n^2+n - n^2 \over \sqrt{n^2+n} + n } = \lim_{n \to \infty} {n \over \sqrt{n^2+n} + n } = \lim_{n \to \infty} {1 \over{ \sqrt{n^2+n} \over n} + 1 } = \lim_{n \to \infty} {1 \over{ \sqrt{n^2\left(1+ {1\over n}\right)} \over n} + 1 } = \lim_{n \to \infty} {1 \over{ \sqrt{1+ {1\over n}} } + 1 } = {1\over 2}$$

Answer 3

Set $1/n=h$

$$\sqrt{n^2+n}=\sqrt{\dfrac{1+h}{h^2}}=\dfrac{\sqrt{1+h}}{|h|}=\dfrac{\sqrt{1+h}}h$$ as $h>0$

$$\implies\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n}-n)=\lim_{h\to0^+}\dfrac{\sqrt{1+h}-1}h$$

$$=\lim_{h\to0^+}\dfrac{{1+h}-1}h\cdot\dfrac1{\lim_{h\to0^+}(\sqrt{1+h}+1)}=?$$

Answer 4

El uso de $\sqrt{1+x}=1+{x\over 2}+o(x)$

$\sqrt{n^2+n}-n=n\sqrt{1+{1 \over n}}-n=n\left(1+{1 \over 2n} + o\left(1 \over n\right) - 1\right)={1\over 2}+o(1)$

Por eso, $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\sqrt{n^2+n}-n) = {1 \over 2}$

Answer 5

$$\begin{align*} \lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n}-n)&=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{(\sqrt{n^2+n}-n)}{1}\times\frac{\sqrt{n^2+n}+n}{\sqrt{n^2+n}+n}\right)\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{2} \end{align*}$$