Demostrar $\text{rank}(A) \geq \frac{(\text{tr}(A))^2}{\text{tr}(A^2)}$ al $A$ es Hermitian

Question

Si $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ es un no-cero Hermitian matriz, necesito mostrar que $$\text{rank}(A) \geq \frac{(\text{tr}(A))^2}{\text{tr}(A^2)}$$ y la razón cuando la igualdad se alcanza?

Alguien me puede ayudar en la demostración de este resultado?

Answer 1

Su matriz es diagonalizable a una matriz diagonal con entradas real, cuando se diagonalize, $\mathrm{rank}A$, $\mathrm{tr} A$ y $\mathrm{tr} A^2$ no cambie. Esto significa que usted puede suponer que $A$ es real y diagonal, para empezar.

Así que supongamos $A=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$$\lambda_i\in\mathbb R$. A continuación, $\operatorname{rank}A$ es el número de no-cero $\lambda_i$s, $\operatorname{tr}A=\sum_i\lambda_i$$\operatorname{tr}A^2=\sum_i\lambda_i^2$. Se sigue que no se reduce a mostrar que la

si $\lambda_1$, $\dots$, $\lambda_n$ son números reales, entonces $\big(\sum_{i=1}^n\lambda_i\big)^2\leq n\sum_{i=1}^n\lambda_i^2$.

Una manera de probar esto es para arreglar $r\geq0$, calcular el máximo de $M$ de la función de $f(\lambda_1,\dots,\lambda_n)=(\lambda_1+\cdots+\lambda_n)^2$ en la esfera de la $\lambda_1^2+\cdots+\lambda_n^2=r$, y por último, compruebe que $M$ es igual a $nr$. Esto se puede hacer fácilmente utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange - - -, por otra parte, dirá que el máximo es alcanzado, y muestran cuando su desigualdad se convierte en una igualdad.