$n ^ 2 +5 $ , $n ^ 2 +10 $ son números racionales al cuadrado

Question

Buscar un número racional distinto de cero $n$ ,

tal que $n ^ 2 +5 $ , $n ^ 2 +10 $ son números racionales al cuadrado

Se trata de un estudiantes de secundaria hizo la pregunta, respuesta $n=\frac{31}{12}$ pero no hay proceso de respuesta. Intento seguir Parametrización de una cónica y soluciones racionales Método para resolver, Si ${{n}^{2}}+5={{a}^{2}}$$ {{2}^{2}}+5={{3}^{2}} $$n-3=t(a-2)$ así que $a=\frac{-3t+2t^2-\sqrt{14-12t-t^2}}{-1+t^2}$ , requiere que la ecuación radical sea un número cuadrado. Parece, es un ciclo y luego proceder.

Answer 1

Supongamos que $n=\frac pq$ con $\gcd(p,q)=1$ es una solución, es decir $$n^2+5=a^2,\quad n^2+10=b^2\quad\text{with }a,b\in\mathbb Q.$$ Supongamos también que $n$ es una solución con $q$ .

Entonces tenemos $$\tag1p^2+5q^2=(qa)^2,\quad p^2 +10q^2=(qb)^2$$ es decir $c:=qa$ y $d:=qb$ son números enteros (porque la raíz cuadrada de un número entero es entera o irracional). Cualquier primo (incluido $5$ !) dividiendo ambos $c$ y $p$ también dividiría $q$ Por lo tanto $\gcd(c,p)=1$ . Del mismo modo $\gcd(c,q)=\gcd(d,p)=\gcd(d,q)=1$ . En $(1)$ encontramos $10q^2=2(c^2-p^2)=(d^2-p^2)$ Por lo tanto $2c^2=d^2+p^2$ y finalmente $$(d+p)^2+(d-p)^2=2d^2+2dp+p^2+d^2-2dp+p^2=2(d^2+p^2)=(2c)^2 $$ para que $(d-p,d+p,2c)$ es un triple pitagórico. Obsérvese que $\gcd(d-p,d+p,2c)$ divide $\gcd(2p,2c)=2$ por lo tanto $(d-p,d+p,2c)$ es primitivo o tenemos $p\equiv d\pmod 2$ y $$\left(\frac{d-p}2,\frac{d+p}2,c\right)$$ es un triple pitagórico primitivo (PPT). La primera variante es imposible porque la hipotenusa en un PPT es siempre impar. En $d\equiv p\pmod 2$ y $\gcd(d,p)=1$ vemos que $d,p$ son a la vez impar y $\frac{d+p}2$ o $\frac{d-p}2$ es par.

Los PPT son bien conocidos: Si $u,v$ son números naturales coprimos de distinta paridad, entonces tenemos $(u^2-v^2,2uv,u^2+v^2)$ o $(2uv,u^2-v^2,u^2+v^2)$ dependiendo de dónde queramos el número par. Esto nos da $$p=\frac{d+p}2-\frac{d-p}2=\pm(u^2-2uv-v^2)=\pm((u-v)^2-2v^2).$$ $$c=u^2+v^2$$ $$q^2=\frac15(c^2-p^2)=\frac{4uv(u+v)(u-v)}5$$ A partir de la coprimidad, concluimos que se da uno de los siguientes casos:

1. $(u-v,v,u)$ es un PPT y $\frac{u+v}5$ un cuadrado. Pero en tal PPT tenemos que $u+v$ es cuadrado o dos veces cuadrado, contradicción.
2. $(u,v,u+v)$ es un PPT y $\frac{u-v}5$ un cuadrado. (continuará)
3. $u,u-v,u+v$ y $\frac v5$ son cuadrados. Esto hace que $(p,q,c,d)=(\sqrt{u-v},\sqrt{\frac v5},\sqrt u,\sqrt{u+v})$ una solución de $(1)$ contradiciendo la minimalidad de $q$ .
4. $v,u-v,u+v$ y $\frac u5$ son cuadrados. (continuará)

Answer 2

Sea $p$ y $q$ enteros de forma que $n=\frac{p}{q}$ entonces $$n^2+5=\frac{p^2+5q^2}{q^2} \quad(1)$$ y $$n^2+10=\frac{p^2+10q^2}{q^2} \quad(2)$$ Sea $x$ y $y$ sean números enteros de forma que $x^2=p^2+5q^2$ y $y^2=p^2+10q^2$ entonces $$(x-p)(x+p)=5q^2 \quad(3)$$ y $$y^2=p^2+10q^2 \quad(4)$$ Factoricemos $q$ como $q=f_1f_2$ entonces obtendremos de $(3)$ : $$(x-p)(x+p)=5f_1^2f_2^2 \quad(5)$$ Utilizando la ecuación $(5)$ elijamos la siguiente descomposición: $$(x-p)=5f_1 \quad(6)$$ y $$(x+p)=f_1f_2^2 \quad(7)$$ Resolver $(6)$ y $(7)$ obtenemos: $$p=\frac{f_1}{2}(f_2^2-5) \quad(8)$$ $$x=5f_1+p \quad(9)$$ Sustitución del valor de $p$ en la ecuación $(4)$ obtenemos: $$y=\frac{f_1}{2}\sqrt{f_2^4+30f_2^2+25} \quad(10)$$ Ahora debemos elegir $f_1$ y $f_2$ para que $p$ , $y$ y $x$ son números enteros. Por inspección, si elegimos $f_2=6$ obtenemos de las ecuaciones $(10)$ y $(8)$ : $$y=\frac{f_1}{2}49$$ $$p=\frac{f_1}{2}31$$ Ahora bien, si elegimos $f_1=2$ obtenemos $p=31$ , $y= 49$ , $x=41$ y $q=12$ .

Por lo tanto $$n=\frac{31}{12}$$

Answer 3

Se trata de una instancia del problema de números congruentes . Decimos que el número entero positivo $m$ es un número congruente si existe un triángulo rectángulo con todos los lados racionales y área $m$ . Se puede demostrar que $m$ es un número congruente si y sólo si existe un racional $x$ tal que $x-m,x,x+m$ son todos cuadrados de números racionales. Para ver la relación con la pregunta aquí, dejemos que $m=5$ , $x=n^2+5$ . El camino para resolver estos problemas pasa por curvas elípticas . Una exposición es aquí . Véase también el teorema 3.1 y el ejemplo 3.3 de este .