Representaciones de álgebras C

Question

Sea A sea un álgebra C* y $\left\{\phi_n\right\}$ una secuencia densa débil* en el espacio de estados. Poniendo $\phi=\sum_n 2^{-n} \phi_n$ ¿puede demostrar que $\phi$ es un estado y la representación $\pi_\phi$ ¿es fiel?

Es fácil demostrar que $\phi$ es un estado. Pero no sé cómo probar que $\pi_\phi$ es fiel.

Answer 1

Tenemos $\phi(b)=\langle\xi,\pi_\phi(b)\xi\rangle$ para cada $b\in\mathbf{A}$ donde $\xi$ es el vector cíclico distinguido de norma $1$ en el espacio $H$ de la representación $\pi_\phi$ . Tome un $a\in A$ , $a\ne0$ y fijar $b=a^*a$ . Dado que la secuencia $\{\phi_n\}$ es denso débil*, se deduce que $\phi_k(b)>0$ para algunos $k$ y por lo tanto $\phi(b)\ge 2^{-k}\phi_k(b)>0$ . Pero entonces $\langle \pi_\phi(a)\xi,\pi_\phi(a)\xi\rangle=\phi(b)>0$ es decir, $\pi_\phi(a)\ne0$ . QED