Vamos a mostrar la siguiente propiedad : si $f_1$ periodo $T_1 > 0$,
$f_2$ período $T_2 > 0$, $f_1$ y $f_2$ son continuos y
no constantes, y $(T_1,T_2)$ es linealmente independiente sobre $\mathbb Q$,
a continuación, $f=f_1+f_2$ no puede ser periódica.
Su pregunta es el caso de la $T_1=1,T_2=\sqrt{2}$.
Supongamos por contradicción que $f$ periodo $T>0$.
Si $T$ es un racional múltiples de $T_1$, entonces existen enteros positivos
$a$ $b$ tal que $aT=bT_1$. Que nos llame a $S$ el número que aparece en ambos lados
de esta igualdad. A continuación, $f$ $f_1$ ambos $S$-periódico ;
así es $f_2=f-f_1$.
A continuación, $f_2$ dos ${\mathbb Q}$-linealmente independientes de los periodos y es
continuo, que sólo es posible si $f_2$ es constante, que contradice la hipótesis.
Por lo $T$ no es un racional múltiples de $T_1$. Del mismo modo, $T$ no es un
racional múltiples de $T_2$.
Por la propiedad que se muestra en este MSE pregunta, podemos deducir que
$$
\lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} f(x+kT_1)}{n}=
\int_{0}^{T} f(t) dt \etiqueta{1}
$$
Pero $f=f_1+f_2$ y
$$
\frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} f_1(x+kT_1)}{n}=f_1(x) , \ \
\lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} f_2(x+kT_1)}{n}=
\int_{0}^{T_2} f_2(t) dt \etiqueta{2}
$$
Esto implica que
$$
\int_{0}^{T} f(t) dt = f_1(x)+ \int_{0}^{T_2} f_2(t) dt \etiqueta{3}
$$
lo que se contradice con el hecho de que $f_1$ es no constante. Esto termina la
prueba.
