Gradiente y mínimo local

Question

Pero la prueba aquí abajo es especialmente elegante.

¿Hay alguna función $f$ tal que $f$ tiene un mínimo local en $x$ $\nabla f(x) \neq 0$?

Sólo Asunción en $f$ es que ha de ser diferenciable en $x$ para que yo pueda escribir $\nabla f(x)\neq 0$ a esta pregunta.

Answer 1

Si $f'(0) \neq 0$, entonces el $\lim_{t \to 0} {f(t)-f(0) \over t} = f'(0)$. Supongamos que $f'(0) >0$, entonces el límite dice que $\delta>0$ tenemos ${f(t)-f(0) \over t} \ge {1 \over 2} f'(0)$ cuando $|t|

Ahora toma una función $\phi:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ y Supongamos que $\nabla \phi(x) \neq 0$. Que $f(t) = \phi(x+t \nabla \phi(x))$. $f'(0) = |\nabla \phi(x)|^2>0$, Por lo tanto, $x$ no es un minimizer local $\phi$.