Encontrar la extensión de Laurent de $f(z)$

Question

Encontrar el Laurent de Expansión para $$f(z)=\frac{1}{z^4+z^2}$$ acerca de $z=0$.

He encontrado la fracción parcial de la descomposición $$f(z)=\frac{1}{z^4+z^2}=\frac{1}{z^2}-\frac{1}{2i(z-i)}+\frac{1}{2i(z+i)}.$$

El próximo quería ampliar cada uno de los tres términos por separado. Tengo

$$\frac{1}{z^2}=\frac{1}{z^2},$$ $$\frac{1}{2i(z-i)}=-\frac{1}{2z}i\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{i}{z}\right)^n,\quad |z|>1$$ $$\frac{1}{2i(z+i)}=-\frac{1}{2z}i\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{i}{z}\right)^n,\quad |z |>1.$$

Por lo tanto, creo que mi Laurent de expansión debe ser $$\frac{1}{z^4+z^2}=\frac{1}{z^2}+\frac{1}{2z}i\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{i}{z}\right)^n-\frac{1}{2z}i\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{i}{z}\right)^n,\quad |z|>1.$$

Yo tenía un par de preguntas, sin embargo.

1) ¿Qué acerca de la $z$ en los denominadores fuera de las sumas? ¿Qué es todo eso?

2) ¿tiene el mismo radio de convergencia $|z|>1$ aplicar para $\frac{1}{z^2}$ como lo hizo para los otros dos de la serie? ¿Qué significa para ampliar acerca de $z=0$, y, sin embargo, el radio de convergencia de los dos expansiones anteriores son $|z|>0$?

3) ¿puedo hacer algo para limpiar esta respuesta?

Answer 1

Sólo puede escribir, como $z \to 0$: $$\begin{align}f(z)=\frac{1}{z^4+z^2}&=\frac{1}{z^2(1+z^2)}\\&=\frac{1}{z^2}(1-z^2+z^4-z^6+z^8...) \\&=\frac{1}{z^2}-1+z^2-z^4+z^6-... \end {Alinee el} $$ and this gives the Laurent expansion of $f $ near $z = 0 $, on $0