Dominio de convergencia de la serie de potencia-2

Question

Esta es la serie:

$$ \sum_{n=2}^\infty(-1) ^ n\frac {(x-3) ^ n} {(\sqrt [n] {n} -1) n} $$

¿Cuál es el intervalo de convergencia? He intentado usar raíz y prueba de la relación pero es bastante difícil encontrar el límite al respecto.

De prueba de la raíz: \lim_{n-$$ > \infty}\frac{|x-3|} {(\sqrt[n]{\sqrt[n]{n}-1)n}} $$

Answer 1

Vamos a ir a la raíz de la prueba: $$ r=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{|(x-3)|}{\sqrt[n]{(\sqrt[n]{n}-1)n}} $$ Así que tenemos que calcular el siguiente límite: $$ \lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{(\sqrt[n]{n}-1)n}} $$ Formulario de aquí, hay un mundano manera de mostrar que el límite es de uno. El camino directo es el uso de múltiples Hospital. Pero nos dan otra prueba:

$$ \lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{(\sqrt[n]{n}-1)n}}=\lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{\sqrt[n]{n}-1}} $$ Se puede demostrar que ${\sqrt[n]{n}}$ 1 $n\to\infty$. Por el otro límite, a ver que: $$ \frac{\ln n}{n}\leq \sqrt[n]{n}-1\leq n\implica \sqrt[n]{\frac{\ln n}{n}}\leq \sqrt[n]{\sqrt[n]{n}-1}\leq \sqrt[n]{n} $$ Ahora usted puede mostrar que tanto los límites de LHS y RHS ir a 1 $n\to\infty$ y por lo tanto el límite en el medio existe y es igual a uno y, por tanto, el último límite existe y es 1.

En cualquier caso, el dominio de convergencia es: $$ {|(x-3)|}<1 $$ con el punto de $x=4$.

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Observación 1: $$ \sqrt[n]{\frac{\ln n}{n}}=L\implica \frac{1}{n}\ln(\frac{\ln n}{n}) =\ln L\\ \lim_{n\to\infty} \frac{\ln({\ln n})-\ln({n})}{n}=0\implica L=1. $$

Observación 2: Si $x-3=-1$, la serie se convierte en: $$ \sum_{n=2}^\infty(-1)^{2n}\frac{1}{(\sqrt[n]{n}-1)n}=\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{(\sqrt[n]{n}-1)n} $$ Dicha serie con el positivo no creciente términos converge iff $\sum 2^na_{2^n}$ converge. Por lo tanto: $$ \sum_{n=2}^\infty\frac{2^n}{(\sqrt[n]{2^n}-1)2^n}=\sum_{n=2}^\infty {1}\to\infty $$ Por lo tanto diverge.

Para el caso en el que se $x-3=1$, obtenemos una corriente alterna de la serie con los no-aumentar el valor absoluto de sus términos y de acuerdo a la alternancia de la serie de prueba converge.