Definición de espacio de Sobolev de Bochner

Question

Yo tome el curso en el PDE y estoy un poco desconcertado con el espacio $W^{1,p}(0,T,X)$.

Evans se define en el §5.9.2 $W^{1,p}(0,T,X)$ como sigue $$ W^{1,p}(0,T,X) = \{ u \en L^p(0,T,X): u'\en L^p(0,T,X)\} $$ pero la solución de $u$ a que el sistema parabólico se define en el artículo 7.1.1 como $$ u \en L^2(0,T,H^1_0) \qquad u' \en L^2(0,T,H^{-1}) $$ por lo $u\notin W^{1,2}(0,T,H^1_0)$. Por qué se definen $ W^{1,p}(0,T,X)$ como lo hace cuando la solución no pertenece a este espacio?

Y con Evans definición que hemos $$ W^{1,p}(0,T,X) \subseteq C(0,T,X) $$ Me referiré a esto más adelante.

En nuestro curso definimos $W^{1,p}(0,T,X)$ diferente $$ W^{1,p}(0,T,X) = \{ u \en L^p(0,T,X): u'\en L^{p'}(0,T,X^*)\} $$ definición de la solución es la misma, por lo que, para nosotros, la solución de $u$ no pertenecen al espacio de $W^{1,p}(0,T,X)$. Es natural que el tiempo derivativo pertenece a $X^*$ o es sólo condición técnica?

También definimos aparejado el espacio de Hilbert(Gelfand triple) $X\subseteq H \subseteq X^*$. Pareciera que a mí, que usted tiene que definir aparejado el espacio de Hilbert con el fin de hacer sentido de nuestra definición de $W^{1,p}(0,T,X)$. Porque débiles tiempo derivativo es definido por la siguiente igualdad $$ \int_0^T u'(t) \psi(t) = - \int_0^T u(t) \psi'(t) dt \qquad \psi \D(0,T) $$ donde, por definición, a mano izquierda se encuentra en $X^*$ y el lado derecho es en $X$, de modo que para comprobar la igualdad tiene que utilizar la incrustación de $X$ $X^*$ a mano derecha. La pregunta es, ¿usted realmente necesita aparejado el espacio de Hilbert de hacer sentido de nuestra definición de $W^{1,p}(0,T,X)$?

Y con nuestra definición, aparentemente, la incorporación de funciones continuas no mantiene en su forma original $$ W^{1,p}(0,T,X) \no\subseteq C(0,T,X) $$ pero esto es $$ W^{1,p}(0,T,X) \subseteq C(0,T,H). $$ Hay una función de $u\in W^{1,p}(0,T,X)$ no $C(0,T,X)$?

Estaba pensando acerca de la función en la forma $$ u(t,x) = t^\alpha sin\left(\frac{x^\beta}{t\gamma}\right) $$ donde me gustaría recoger $\alpha,\beta,\gamma \geq 0$, de modo que $u(t)\rightarrow 0$$t\rightarrow 0$$L^2$, pero no en $W^{1,2}$, pero creo que no es posible elegir tal $\alpha,\beta,\gamma \geq 0$. Por lo tanto algo más sofisticado que se necesita.

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Usted no tiene que contestar a todas las preguntas, ninguna respuesta que iban a arrojar un poco de luz en el espacio $W^{1,p}(0,T,X)$, y sus dos definiciones diferentes.

Answer 1

(I pick $p=2$ por simplicidad).

1. Es natural que requieren el tiempo derivativo $u' \in L^2(0,T;X^*)$ ya que por lo general tiene una ecuación parabólica de la forma $u' + Au =0$ donde $A$ es un operador elíptico como $A=-\Delta$. A continuación, $\langle -\Delta u, v \rangle := \int \nabla u \nabla v$ implica que el $-\Delta u$ se encuentra en el espacio dual de $L^2(0,T;X)$, es decir, $-\Delta u \in L^2(0,T;X^*)$. A continuación, reordenando la ecuación muestra que $u' = -Au$, de modo que $u' \in L^2(0,T;X^*)$.

2. Sí usted necesita el amañado Hilbert triple de hacer sentido de "su $W^{1,2}(0,T;X)$." Por ejemplo, usted necesita para hacer sentido de fórmulas como $$\frac{d}{dt}(u(t),v)_H = \langle u'(t), v \rangle = (u'(t), v)_H$$ whenever $u'(t) \in H$.

3. No sé por qué Evans define el espacio como lo hace. Tal vez porque evita la necesidad de discutir la Hilbert triple porque es más simple.