Problemas de probabilidad: longitud de nuevos segmentos

Question

Tengo una línea de longitud de la $l$. Puedo dividir la línea en $n$ segmentos. Hago esto por la elección de $n - 1$ puntos al azar (me refiero a que el $n - 1$ puntos están distribuidos de manera uniforme de$0$$l$).

Quiero añadir un nuevo punto al azar. Si este nuevo punto de no coincidir con uno viejo, va a "destruir" un viejo segmento y crear dos nuevos segmentos:

4 points, 5 segments:
----------|---------|---------------|-----|-------

1 new point, 6 segments:
----------|---------|---|-----------|-----|-------
                        ^

La pregunta que estoy tratando de responder es: ¿por cuánto tiempo son estos dos nuevos segmentos de media?

Desde el método de construcción, creo que la respuesta es $l / (n + 1)$ (es decir, la longitud sobre el nuevo número de segmentos). Sin embargo no estoy seguro de que por dos razones:

1. No puedo encontrar una manera de demostrarlo;
2. $l / (n + 1)$ es el promedio de la longitud de todos los segmentos, pero estoy interesado sólo en los nuevos.

Podría arrojar algo de luz sobre esto?

Answer 1

Después de que el nuevo punto añadido, el $n+1$ segmentos etiquetados de izquierda a derecha en orden, de forma canjeable secuencia. En particular, todos ellos tienen la misma distribución marginal, por lo tanto el mismo valor de la media de $l/(n+1)$.

Pero usted está preguntando acerca de los dos últimos segmentos, y sospecho que hay un "tamaño de sesgo" efecto en el juego. Cuando la adición de la $n^{\rm th}$ punto al azar, el más grande de los intervalos en el lugar son más propensos que los más pequeños para recibir este nuevo punto, por lo que el nuevo intervalo puede ser sesgada a ser mayor que la de un típico de la $n$ subintervalos. De hecho, condicional en las longitudes (llamarlos $L_1,\ldots, L_n$) $n$ segmentos en el lugar después de la primera $n-1$ puntos han sido seleccionados, el valor esperado de una de las dos nuevas subintervalos es $$ \sum_{k=1}^n (L_k/l)\cdot(L_k/2)={1\over 2l}\sum_{k=1}^n L_k^2>{l\más de 2n}. $$ (El $>$ $=$ sólo cuando todos pero uno de los $L_k$ es igual a $0$, un evento de probabilidad $0$.) No es difícil comprobar que $\Bbb E[L_k^2]={2l^2\over n(n+1)}$, por lo que el valor de la media de la muestra de expresión es $l/(n+1)$ como se esperaba.

Answer 2

Parece que la longitud de los nuevos segmentos se $\frac{1}{2n}$. Esto es probablemente debido al hecho de que una vez que usted escoja $n-1$ puntos al azar, ya tiene segmentos que son, en promedio, de longitud $1/n$. Entonces, cuando usted elige otro punto al azar, primero tienes que seleccionar el segmento y, a continuación, elegir un punto de ese segmento. Podemos tratar esto como elegir un punto al azar de un segmento de longitud $1/n$, lo que la separa en dos segmentos de longitud $\frac{1}{2n}$. Aquí está mi código para la selección de puntos en la $(0,1)$ intervalo.

import random
import matplotlib.pyplot as plt


n = 5
total = 0

def f(n):
    total = 0
    for j in range(10000):
        points =  [ random.uniform(0, 1) for k in range(n-1)]
        points.append(0), points.append(1)
        points = sorted(points)
        seg = random.randint(0, n-1) #first point of the chosen segment
        segment1, segment2 = points[seg], points[seg+1]
        newpoint = random.uniform(segment1, segment2)
        total += abs(newpoint-segment1)
    return (total/10000)

X = [n for n in range(1, 101)]
Y = [f(n) for n in range(1, 101)]

plt.plot(X,Y)
plt.show()

Extrapolar los valores de $1 \le n \le 100$ me da el siguiente gráfico. La línea roja es la gráfica de $\frac{1}{2n}$ y los puntos azules son el valor del programa.