Dado un punto $p \in U$ Creo que primero deberías tratar de encontrar una caja cuatridimensional abierta que contenga $p$ que se encuentra en $U$ . Entonces se puede encontrar una pequeña bola centrada en $p$ que está contenida en la caja y, por tanto, en $U$ .
Dejemos que $(a, b, c, d) \in U$ entonces $a \in (-1, 1)$ , $b \in (-2, 2)$ , $c \in (-3, 3)$ y $d \in (-4, 4)$ . Sea $\delta_1 = \min\{|1 - a|, |-1 - a|\}$ ; esta es la distancia más corta entre $a$ y un punto que no está en el intervalo $(-1, 1)$ . Si dejamos fijas las tres últimas coordenadas, pero cambiamos la primera coordenada $a$ por menos de $\delta_1$ entonces el punto correspondiente permanece en $U$ . Asimismo, establecemos
\begin{align*} \delta_2 &= \min\{|2 - b|, |-2 - b|\}\\ \delta_3 &= \min\{|3 - c|, |-3 - c|\}\\ \delta_4 &= \min\{|4 - d|, |-4 - d|\}. \end{align*}
Entonces $\delta_i$ mide cuánto podemos cambiar el $i^{\text{th}}$ coordinar y permanecer en $U$ siempre que mantengamos fijas las demás coordenadas. Ahora dejemos que $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2, \delta_3, \delta_4\}$ . Ahora bien, si varío cualquiera de las coordenadas como máximo $\delta$ y mantener las otras coordenadas fijas, entonces permanezco en $U$ . Es decir, $V = (a - \delta, a + \delta)\times(b - \delta, b + \delta)\times(c - \delta, c + \delta)\times(d - \delta, d + \delta)$ está contenida en $U$ . Además, $V$ está abierto y contiene $p$ es la caja cuatridimensional abierta que contiene $p$ que mencioné al principio.
Ahora sólo tienes que encontrar una bola centrada en $p$ que es lo suficientemente pequeño como para estar contenido en $V$ (y por lo tanto $U$ ). Puede comprobar que la bola $B(p, \delta)$ será suficiente; intuitivamente, el cambio en cualquier coordenada es menor o igual que el cambio en la distancia.
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Me gusta empezar mi ataque a este tipo de pruebas con una definición clara de la(s) entidad(es) en cuestión. En este caso, ¿qué definición(es) tienes para conjunto abierto? Parece que estás usando una definición basada en que cada punto tiene una vecindad alrededor contenida en el conjunto. Entonces, ¿podrías encontrar una manera de construir tal vecindad dado cualquier punto en $U$ ?
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La definición que nos dieron en clase fue que si podemos proporcionar algún $\delta$ s.t. para todos los puntos $p \in U, B_\delta (p) \subset U$ (donde $B_\delta (p)$ es una bola abierta de radio $\delta$ centrado en $p$ ) entonces el conjunto $U$ está abierto. En este caso, no puedo encontrar una solución aplicable. $\delta$ , ya que no puedo visualizar la gráfica de la función.