Difícil Integral: $\int\frac{x^n}{\sqrt{1+x^2}}dx$

Question

Cómo calcular este difícil integral: $\int\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}dx$?

La respuesta es $\frac{x}{2}\sqrt{x^2\pm{a^2}}\mp\frac{a^2}{2}\log(x+\sqrt{x^2\pm{a^2}})$.

Y ¿qué hay de $\int\frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}dx$?

Answer 1

Recordar las funciones hiperbólicas $$\cosh t= \frac{e^t + e^{-t}}{2} = \cos(it)$$ y $$\sinh t=\frac{e^t - e^{-t}}{2} = i\sin(-it).$$

Tenga en cuenta que $\frac{d}{dt}\sinh t = \cosh t$, $\frac{d}{dt}\cosh t = \sinh t$ y también se $\cosh^2 t -\sinh^2 t = 1$.

Haciendo la sustitución de $\sinh t=x $ vemos que
$$\frac{x^n\, dx}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{\sinh^n t\, \cosh t\,dt}{\sqrt{1+\sinh^2t}}= \frac{\sinh^n t\, \cosh t\,dt}{\sqrt{\cosh^2t}}=\sinh^n t\, dt$$ lo que nos lleva a la $$\int\frac{x^n\, dx}{\sqrt{1+x^2}} = \int \sinh^n t\, dt.$$ Para completar el problema, el teorema del binomio es útil.

Answer 2

He aquí una manera de ir sobre la que se derive una relación de recursividad para las integrales de la forma

$$\int\frac{x^n}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm dx$$

Dividir la integral así:

$$\int x^{n-1}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm dx$$

e integrar por partes:

$$\int x^{n-1}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm dx=x^{n-1}\sqrt{1+x^2}-(n-1)\int\sqrt{1+x^2} x^{n-2}\mathrm dx$$

Tomando nota de que $1+x^2$ siempre es positivo para el real $x$, que luego se complican un poco las cosas:

$$\int \frac{x^n}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm dx=x^{n-1}\sqrt{1+x^2}-(n-1)\int(1+x^2)\frac{x^{n-2}}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm dx$$

Realizar otra división:

$$\int\frac{x^n}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm dx=x^{n-1}\sqrt{1+x^2}-(n-1)\left(\int \frac{x^n}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm dx+\int\frac{x^{n-2}}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm dx\right)$$

y vemos algo que nos puede aislar:

$$n\int\frac{x^n}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm dx=x^{n-1}\sqrt{1+x^2}-(n-1)\int\frac{x^{n-2}}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm dx$$

y entonces finalmente dividir ambos lados por $n$:

$$\int\frac{x^n}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm dx=\frac1{n}\left(x^{n-1}\sqrt{1+x^2}-(n-1)\int\frac{x^{n-2}}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm dx\right)$$

Podemos usar los valores de partida $\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1+x^2}}=\mathrm{arsinh}\,x$ $\int\frac{x \mathrm dx}{\sqrt{1+x^2}}=\sqrt{1+x^2}$ de la recursividad.

(Esta es una respuesta a Srivatsan del comentario, que tienes demasiado tiempo para que el cuadro de comentarios.)

Answer 3

Me gustaría, en primer lugar trate de la sustitución de $x=\tan(\theta)$, por lo que el $\sqrt{1+x^2}=\sec(\theta)$. Que da $$ \begin{align} \int\frac{x^n}{\sqrt{1+x^2}}\;\mathrm{d}x &=\int \tan^n(\theta)\sec(\theta)\;\mathrm{d}\theta\\ &=\tan^{n-1}(\theta)\sec(\theta)-(n-1)\int\tan^{n-2}(\theta)\;\sec^3(\theta)\;\mathrm{d}\theta\\ &=\tan^{n-1}(\theta)\sec(\theta)-(n-1)\int(\tan^n(\theta)+\tan^{n-2}(\theta))\;\sec(\theta)\;\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{1}{n}\tan^{n-1}(\theta)\sec(\theta)-\frac{n-1}{n}\int\tan^{n-2}(\theta)\;\sec(\theta)\;\mathrm{d}\theta \end{align} $$ Si $n$ es impar, esto se reduce a $$ \int\tan(\theta)\s(\theta)\;\mathrm{d}\theta=\s(\theta)+C $$ Si $n$ es incluso, esto se reduce a $$ \begin{align} \int\sec(\theta)\;\mathrm{d}\theta&=\int\sec^2(\theta)\;\mathrm{d}\sin(\theta)\\ &=\int\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-\sin(\theta)}+\frac{1}{1+\sin(\theta)}\right)\;\mathrm{d}\sin(\theta)\\ &=\frac{1}{2}\log\left(\frac{1+\sin(\theta)}{1-\sin(\theta)}\right)+C\\ &=\log(\sec(\theta)+\tan(\theta))+C \end{align} $$

Answer 4

Desde $\frac{d}{dt}\sqrt{1+t^2} = \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}$, podemos integrar por partes para obtener $$ \int \frac{t^2}{\sqrt{1+t^2}}\mathrm dt = \int t\cdot \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\mathrm dt t = \sqrt{1+t^2} - \int \sqrt{1+t^2}\mathrm dt. $$ La trampa un poco mirando una tabla de integrales, obtenemos que desde $$ \frac{d}{dt} \left [ t\sqrt{1+t^2} + \ln(t + \sqrt{1+t^2}) \right ] t = \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} + \sqrt{1+t^2} + \frac{1}{t + \sqrt{1+t^2}} \left [ 1 + \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} \right ] $$ que se simplifica a $2\sqrt{1+t^2}$, la integral de la derecha de arriba es $\frac{1}{2}[t\sqrt{1+t^2} + \ln(t + \sqrt{1+t^2})]$ , por lo que tenemos $$ \int \frac{t^2}{\sqrt{1+t^2}}\mathrm dt = \frac{1}{2}\left [t\sqrt{1+t^2} - \ln(t + \sqrt{1+t^2})\right ] $$ que coincide con la respuesta dada por Charles Bao si establecemos $X=x$ $a=1$ en su post original.