La pregunta básica de la probabilidad de la moneda tirar

Question

Llegó a través de la siguiente pregunta:

Dada una moneda con probabilidad de $0< p< 1$ a caer en la "cabeza". Desecharlo de forma independiente. Dado $n,m\in\mathbb{N}$ ¿cuál es la probabilidad de obtener $n$ "cabeza"s antes de $m$ "cola"s?

Mi enfoque era el siguiente: el n cabezas necesidad de ocurrir en el $(n+m-1)$ primeros lanzamientos.

Hay $n+m-1\choose n$ formas para recoger $n$ elementos de este grupo. En cada selección, necesitamos tener $n$ cabezas que significa que la probabilidad es de $p^n$.

Sumando todo llego ${n+m-1\choose n}\cdot p^n$.

El resultado en el libro es: $\sum_{k=n}^{m+n-1}{n+m-1\choose k}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n+m-1-k}$ que no entiendo por qué.

Answer 1

Que estábamos en el camino correcto, pero no del todo allí. Estás tratando de caluclate la probabilidad de obtener exactamente $n$ cabezas antes de la $m$~th cola. Que es la probabilidad de obtener $n$ jefes y $m-1$ colas de entre $n+m-1$ lanzamientos, y luego una cola en la vuelta siguiente.$$\dbinom{n+m-1}{n}\cdot p^n\cdot (1-p)^{m}$$

Sin embargo, usted se calcinan para que la probabilidad de que obtailing al menos $n$ cabezas antes de $m$ colas. Que es la probabilidad de que obtailing $n$ o más de las colas entre los primeros a $n+m-1$ tiros, y luego lo que en la tira después de eso.

$$\sum_{k=n}^{n+m-1}\dbinom{n+m-1}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n+m-1-k}$$

Answer 2

El problema con su enfoque es que usted puede tener más de $n$ cabezas en el primer $n+m-1$ lanzamientos. Te han contado la probabilidad de que los tiros de la $1,...,n$ son todos los jefes y que ha contado con la probabilidad de que los tiros de la $2,...,n+1$ son todos cabezas por separado, pero al hacer esto usted está contando las veces que todos los de $1,...,n+1$ son jefes de dos veces (bueno, en realidad $n+1$ veces a causa de otras combinaciones que no he mencionado). Por lo que su método sobreestima la probabilidad de que usted desea.

La probabilidad de que exactamente $n$ cabezas serían $\binom{n+m-1}{n}p^n(1-p)^{m-1}$ (el valor que tenían veces la probabilidad de que las otras monedas son todas las colas). Pero lo que quiero es la probabilidad de que al menos $n$ cabezas, es decir,$\sum_{k=n}^{n+m-1}P(k\text{ heads})$, que es lo que la fórmula en el libro de los condes.