Raíces de una cúbica

Question

¿Cómo encontraría la raíz real? Sé que puedo decir que otra raíz es (5+i), pero ¿utilizaría el producto de las raíces?

Answer 1

Las raíces complejas siempre vienen en pares a través del conjugado, por lo que también sabes que $5-i$ es una raíz. Por lo tanto, puede factorizar su cúbica a algo como $$(x-(5+i))(x-(5-i))(x-A)$$ donde $A$ es su verdadera raíz aún por determinar. Expande la cantidad $(x-(5+i))(x-(5-i))(x-A)$ y establecerlo igual a $x^3+px^2+6x+q$ . Puedes hacer coincidir los coeficientes y deberías ser capaz de resolver para $A$ sin demasiada dificultad.

Answer 2

Hay dos raíces $5+i, 5-i$ porque los coeficientes son reales y las raíces vienen en pares complejos conjugados.

A continuación, puede utilizar Fórmulas de Vieta o simple expansión de $(x-a)(x-b)(x-c)$ , observar que si las raíces son $a=5+i, b=5-i, c$ entonces $ab+ac+bc=26+5c+ic+5c-ic=26+10c=6$

Este enfoque tiene la ventaja de aislar el coeficiente cuyo valor se conoce, y simplifica las ecuaciones en una fase anterior.

Answer 3

Suma de raíces = $ - p = 5 + i + 5 - i + U $ ; Raíz real desconocida U = $ -p -10. $

Answer 4

Pistas:

La siguiente cuadrática es un factor de tu polinomio:

$$\begin{cases}&(5-i)(5+i)=|5-i|^2=26\\{}\\&5-i+5+i=10\end{cases}\;\;\implies (x-(5-i))(x-(5+i))=x^2-10x+26$$