Intermedios campos de $x^4+1$

Question

Tenía esta pregunta en mi prueba. Se nos pidió a dar polinomio irreducible de $e^\frac{2\pi i}{8}$$\mathbb{Q}$, la que me dijo fue $x^4+1$.

Se nos pidió a encontrar la división de campo de este polinomio, me dijo que era $K=\mathbb{Q}(e^\frac{2\pi i}{8})$, ya que las otras raíces de $x^4+1$ son atribuciones de esta raíz. [específicamente tercer, quinto y séptimo poderes]

Se nos pidió entonces a encontrar el grupo de Galois de este campo, me dijo que era el Klein cuatro grupo. Porque una vez que usted permutar una raíz en otro, se encuentra que la raíz se permutan para que se le envía de vuelta. Y luego las otras dos raíces obtener permutada. I. e. el grupo de Galois es $\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$.

Todo lo anterior estoy bastante seguro, aunque no es completamente cierto, y supongo que si tengo ninguna de ese mal mi pregunta es, probablemente, mal así.

Se nos pidió a encontrar el intermedio de los campos de $\mathbb{Q}\subset L\subset K$. Estos corresponden a los subgrupos de Klein cuatro, de los cuales hay tres. Es decir, el subgrupo cíclico de orden dos generado por cualquier elemento de identidad. Sé que el intermedio de campo correspondiente a un subgrupo es el campo fijo por ese subgrupo. Pero el solo intermedio de campo pude encontrar fue $\mathbb{Q}(i)$, que se fija por uno de cada tres de estos subgrupos, mientras que los otros dos transposiciones enviar $i \rightarrow -i$.

¿Cuáles son los otros dos intermedios campos entre el$\mathbb{Q}$$\mathbb{Q}(e^\frac{2\pi i}{8})$?

Answer 1

Usted ya se dio cuenta de que "una vez que permutar una raíz en otro, se encuentra que la raíz se permutan para que se le envía de vuelta".

Así, por ejemplo, permite tomar el elemento $\phi$ del grupo de Galois que envía a $\zeta_8$ $\zeta_8^3$(y de regreso). A continuación, $\zeta_8 + \zeta_8^3$ es invariante bajo este mapa. Esto le da a ${\mathbb Q}(\zeta_8 + \zeta_8^3)$ intermedio campo que es invariante bajo $\langle \phi \rangle$.

Si desea que este campo como algo más reconocible, darse cuenta de que tiene un grado $2$${\mathbb Q}$. Escrito $\alpha = \zeta_8 + \zeta_8^3$, consigue $\alpha^2 = \zeta_8^2 + 2 \zeta_8^4 + \zeta_8^6 = -2$, por lo que el campo es ${\Bbb Q}(i\sqrt{2})$.

Haciendo lo mismo con el elemento de la Galois grupo que envía a$\zeta_8$$\zeta_8^7$, encontrará ${\Bbb Q}(\sqrt{2})$.

Por suerte ya ha encontrado el intermedio de campo $\Bbb Q(i)$, debido a que el mismo truco no funciona para el elemento de la Galois grupo que envía a$\zeta_8$$\zeta_8^5$. Es cierto que $\zeta_8 + \zeta_8^5$ es invariante bajo este mapa, pero eso no llegar a ninguna parte, porque $\zeta_8^5 = - \zeta_8$, lo $\zeta_8 + \zeta_8^5 = 0$. Eso significa que $\zeta_8^2$ es invariante, sin embargo, que da $\Bbb Q(\zeta_8^2) = \Bbb Q(i)$ como intermedios de campo.

Sin la inspiración que una suma de dos raíces es invariante, se puede deducir de este lugar mecánicamente así. El campo ${\Bbb Q}(\zeta_8)$ $1, \zeta_8, \zeta_8^2, \zeta_8^3$ base ${\Bbb Q}$. Ahora $\phi$ mapas de la general, el elemento$a + b \zeta_8 + c \zeta_8^2 + d \zeta_8^3$$a + b \zeta_8^3 + c \zeta_8^6 + d \zeta_8^9 = a + d \zeta_8 - c \zeta_8^2 + b \zeta_8^3$. Para que esto sea un invariante elemento en $\phi$, usted necesita $b = d$$c = 0$, dando una vez más $\zeta_8 + \zeta_8^3$ como invariante bajo $\langle \phi \rangle$.