La divergencia en los extremos del intervalo de convergencia para $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k!}{k^k}x^k$

Question

Es bastante fácil de ver desde la prueba de razón de que el radio de la serie es $e$, pero me esforcé para mostrar la divergencia de la serie en $\pm e$. Me pregunto, en particular, si hay una manera de usar la definición de la serie de $e$. También no me esperaba esta secuencia a divergir hasta el infinito, de modo que cualquier intuición de por qué $e^kk!$ beats $k^k$, por lo que fácilmente es bienvenido.

A mi manera: $$ L=\lim_{k\rightarrow \infty}\frac{k!}{k^k}e^k\Rightarrow \log(L)=\lim_{k\rightarrow \infty}k+\log(k!)-k\log(k) $$ Y, a continuación, el uso de stirling, $k!=O(e^{-k}k^{k}\sqrt{k})$, $$ \log(L)=\lim_{k\rightarrow \infty}k+\log(e^{-k}k^{k}\sqrt{k})-k\log(k)\\ =\lim_{k\rightarrow \infty}k-k+k\log(k)+\frac{1}{2}\log(k)-k\log(k)=\lim_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{2}\log(k)=\infty $$

Answer 1

Bien, para responder a la pregunta acerca de $e^k*k!$ en comparación con $k^k$, he aquí una intuición: Considerar cada producto se compone de $k$ términos. uno de ellos, cada término es $k$. El otro, cada término es $e*i$ donde $i$ rangos de$1$$k$. Ahora, de $k/e$ en adelante, cada término es mayor que $k$, por lo que tenemos en porcentajes, sólo $1/e$ términos están a menos de $k$, o alrededor de $36\%$. Usted podría tratar de continuar adelante para que coincida con los términos más generales a los más pequeños a los términos, y mostrar que usted tiene algunos de los términos más generales a la izquierda.

Answer 2

Una posibilidad, no el uso de Stirling, pero no con la definición de la serie de $e$:

Tiene por $x\geq 0$ que $\log(1+x)\leq x$. Esto demuestra que para$k\geq 1$,$\displaystyle (1+\frac{1}{k})^k=\exp(k\log(1+1/k))\leq e$. Ahora pon $\displaystyle u_k=(-1)^k \frac{k!}{k^k} e^k$ o $\displaystyle u_k= \frac{k!}{k^k} e^k$. y $v_k=|u_k|$. Es fácil mostrar que $\displaystyle \frac{v_{k+1}}{v_k}=\frac{e}{(1+1/k)^k}\geq 1$. Por lo tanto $v_k$ está aumentando, y no ir a $0$$k\to +\infty$, y la serie de $u_k$ es divergente.

Answer 3

A partir de la fórmula de Stirling, cuando estamos tratando con $k >> 1$,

$$k! \approx \sqrt{2\pi k}\left(\frac{k}{e}\right)^k$$

Usted puede conseguir fácilmente

$$\frac{k!}{k^k} \approx \frac{\sqrt{2\pi k}}{e^k}$$

por lo tanto

$$e^k k!\approx k^k\sqrt{2\pi k}$$

Ahora

$$\sqrt{2\pi k} k^k \geq k^k$$

Y así

$$e^k k! \geq k^k$$