Encontrar Reglas de Feynman para QED Reducido/Pseudo-QED

Question

Estoy tratando de adivinar/calcula las reglas de Feynman para la siguiente teoría.

$$\mathcal{L} = \delta(x^d)\bar{\psi}\iota\gamma^\mu D_\mu \psi(x)-\frac{1}{4}F^{\hat{\mu}\hat{\nu}}F_{\hat{\mu}\hat{\nu}}(x) -\frac{1}{2}(\partial^{\hat{\mu}}A_\hat{\mu})^2(x) \, ,$$

donde para simplificar asumimos que el electrón no tiene masa. Los índices Lorentz con sombrero van desde $0$ hasta $d,$ mientras que los sin sombrero van desde $0$ hasta $d-1.$ Es decir, los electrones están confinados en una hiperhoja, pero los fotones pueden moverse en cualquier dirección.

Por favor, hágame saber cómo debo resolverlo en $d+1$ dimensiones espacio-temporales.

Answer 1

¡Escribamos la acción y investiguemos cada término individualmente!

$$S = \int d^{d+1}x \Big[ \delta(x^d)\bar{\psi}\iota\gamma^\mu (\partial_\mu + ieA_\mu) \psi(x)-\frac{1}{4}F^{\hat{\mu}\hat{\nu}}F_{\hat{\mu}\hat{\nu}}(x) -\frac{1}{2}(\partial^{\hat{\mu}}A_\hat{\mu})^2(x) \Big]$$

El primer término es el término cinético para el campo fermiónico (electrón sin masa) y, por lo tanto, define el propagador. Primero, integramos la función delta.

$$\newcommand{\fsl}[1]{#1\kern-0.4em\raise0.22ex\hbox{/}} \int d^{d+1}x \ \delta(x^d)\bar{\psi}\iota \fsl{\partial} \psi(x) = \int d^dx \ \bar{\psi}\iota \fsl{\partial} \psi(x)$$

La función de Green se define utilizando

$$\iota \fsl{\partial} S_F (x-y) = \iota \delta^{(d)}(x-y) \, ,$$

lo que en el espacio de momento implica

$$\fsl{k} \tilde{S}_F(k)=\iota$$ $$\Rightarrow \boxed{\tilde{S}_F(k) = \frac{\iota}{\fsl{k}}}$$

El siguiente término en la acción da la interacción entre la luz y los electrones. Vamos a llegar a eso en breve. Los dos últimos términos constituyen el propagador para los fotones. Como es habitual, reescribe las intensidades del campo electromagnético en términos del campo de calibre y luego encuentra la correspondiente función de Green en el espacio de momento.

$$\begin{align*} \int d^{d+1}x \ \Big[ -\frac{1}{4}F^{\hat{\mu}\hat{\nu}}F_{\hat{\mu}\hat{\nu}}-\frac{1}{2}(\partial^{\hat{\mu}}A_\hat{\mu})^2 \Big] &= \int d^{d+1}x \ \Big[ -\frac{1}{2} A^\hat{\mu}(-\eta_{\hat{\mu} \hat{\nu}}\partial^2 + \partial_\hat{\mu}\partial_\hat{\nu}) A^\hat{\nu} + \frac{1}{2} A^\hat{\mu}\partial_\hat{\mu}\partial_\hat{\nu} A^\hat{\nu} \Big] \\ &= \int d^{d+1}x \ \Big[ -\frac{1}{2} A^\hat{\mu} (-\eta_{\hat{\mu} \hat{\nu}}) \partial^2 A^\hat{\nu} \Big] \\ \end{align*}$$

Por lo tanto, obtenemos la función de Green de la siguiente manera.

$$\eta_{\hat{\mu} \hat{\lambda}} \partial^2 {D_F}^{\hat{\lambda}\hat{\nu}}(x-y) = \iota \ {\delta_\hat{\mu}}^\hat{\nu} \delta^{(d)}(x-y)$$

$$\Rightarrow -k^2 \eta_{\hat{\mu} \hat{\lambda}} \ {\tilde{D}_F}^{\hat{\lambda}\hat{\nu}}(k) = \iota \ {\delta_\hat{\mu}}^\hat{\nu}$$

$$\Rightarrow \boxed{ {\tilde{D}_F}^{\hat{\lambda}\hat{\nu}}(k) = \frac{-\eta_{\hat{\lambda}\hat{\nu}} } {k^2} } \, ,$$

donde $k^2 = k_\hat{\mu} k^\hat{\mu}$.

Ahora, investiguemos el término final en la acción. Ten en cuenta que la interacción ocurre solo con el campo de fotones en la $d$-brana (el vector de polarización de un fotón interactuante está completamente en la $d$-brana). Podemos integrar con seguridad la función delta.

$$\int d^{d+1}x \ \delta(x^d)\bar{\psi}\iota \gamma^\mu (\iota e A_\mu) \psi = \int d^dx \ \bar{\psi}(-e) \fsl{A} \psi$$

Recuerda que la función de correlación tiene un $e^{iS}$ dentro del orden temporal que expandimos de manera perturbativa antes de realizar las contracciones de Wick (alternativamente, la integral generadora es una integral funcional del exponencial anterior). Por lo tanto, el vértice de interacción contribuiría con un término proporcional a $-\iota e \gamma^\mu \int d^dx$ que en el espacio de momento nos daría la siguiente expresión.

Como comentario final, ten en cuenta que dado que la polarización del fotón alineada a lo largo del eje $x^d$ se desacopla de las interacciones de $d$-brana, podemos ignorar con seguridad los términos $\hat{\mu}=d$ del numerador del propagador de fotones.

Por favor, avísame si cometí algún error conceptual.