Una definición Simple para el azar del polinomio $p:[0,1]\to[0,1]$

Question

Esto debería ser relativamente simple problema, pero estoy buscando un lugar limpio definición de un azar del polinomio, $p$, que pasa a través de la unidad de la plaza. A partir de las sugerencias de los comentarios, el orden del polinomio, $d$, puede ser lo que sea necesario y $p$ puede ser encontrado por cualquier medio.

Ahora he probado el método obvio de sólo tomar puntos aleatorios de la plaza y la interpolación de ellos, pero a veces, $p$ tiende a saltar fuera de la plaza.

La mitad del tiempo, es fino y $p$ está dentro de los límites. La otra mitad del tiempo, no lo es.

Entonces, ¿cómo puedo cualquiera de mitigar este o redefinir $p$, de modo que se ajusta a estos criterios?

Que uno es bueno.

Que uno no es.

Muy agradecido, Mermelada.

Answer 1

Dependiendo de que tan "bien distribuido" usted quiere que su polinomios a ser, aquí hay dos cosas muy simples que parezcan, vale la pena probar:

1) Todo polinomio de Chebyshev de mapas de $[-1,1]$ a sí mismo, por lo que una arbitraria convexo combinación de ellos, que se mantendrá siempre dentro de la plaza de la $[-1,-1]^2$, que puede fácilmente cambiar la escala para que se ajuste dentro de la unidad de la plaza. El básico de los polinomios de Chebyshev tiene la propiedad que se ajuste exactamente en el interior de la plaza, golpeando los bordes superior e inferior de un número máximo de veces para su grado.

2) los polinomios de Bernstein debe comportarse mejor que el de Lagrange interpolants en términos de acotamiento largo de todo el intervalo. Ellos le permiten encontrar un alto grado del polinomio que se mantiene dentro de un acotado de la envolvente de cualquier curva continua que se dibuja en la plaza. Yo creo que por la convexidad que debe permanecer dentro de la unidad de cuadrado si la curva original está dentro de la unidad de la plaza; si no siempre se puede cambiar de tamaño por una pequeña cantidad.

Answer 2

A pesar de que Erick Wong proporciona una gran solución, voy a publicar uno que se me ocurrió, para la posteridad.

Deje $F_n(x)=\sum_{i=1}^{n}a_i\cos(ix+\phi_i)$$a_i$$[0,1]$$\phi_i$,$\mathbb{R}$. Entonces, para todos $x$, $\frac{F_n(x)+1}{2\sum a_i}$, será en $[0,1]$ desde $\cos$$[-1,1]$. Por último, definir $p(x)$ como la Serie de Taylor para $\frac{F_n(x)+1}{2\sum{a_i}}$,$x=\frac{1}{2}$, con un grado suficientemente alto, de tal manera que $p$ se queda en $[0,1]$.

No es tan limpio como yo esperaba, pero funciona bastante bien y, probablemente, puede ser simplificado. La idea surgió a partir de un polinomio de ajuste aleatorio Serie de Fourier, sin términos en $\sin$ desde que se complicaron las cosas. Los cambios de fase eran necesarias ya que cada una de las $F_n$ estaba saliendo de la $y$ eje en la predicción de puntos.

En el diagrama de abajo, he mostrado, superpuestos sobre $20$ $30$grado $9$ polinomios, el uso de este método, con $n=4$$\phi_i$$[-3,3]$. Claramente que se mantengan dentro de los límites de la unidad de la plaza, rellenar el espacio muy bien y son bastante aleatorios, así que me gustaría considerar la posibilidad de que este método sea un éxito.

Cuando vemos lo que parece, con cerca de $100$ o de $p$, es claro que se agrupan en torno a $y=\frac{1}{2}$, que es lo esperado, por lo que el método no proporciona polinomios con igualdad de oportunidad de estar en cada punto en la unidad de la plaza pero son razonablemente al azar, no obstante.