Dada una disminución de familia de conjuntos y las particiones con un refinamiento condición, hay un monótono función de elección de las particiones?

Question

He estado tratando de mostrar la siguiente declaración con el uso de la $AC$, pero estoy empezando a pensar que no es lo suficientemente fuerte como para hacerlo.

Contexto: Vamos a $\Gamma$ ser un incontable linealmente ordenado conjunto con un elemento más pequeño (no necesariamente bien ordenados).

Para cada una de las $\alpha\in\Gamma$, vamos a $C_\alpha$ ser un conjunto no vacío tal que $C_\alpha\supsetneqq C_\beta$ siempre $\alpha<\beta$. Para cada una de las $\alpha\in\Gamma$, vamos a $P(C_\alpha)$ ser una partición de $C_\alpha$ dicho que: siempre que $\alpha<\beta$, para todos los $B\in P(C_\beta)$ existe $A\in P(C_\alpha)$ tal que $B\subsetneqq A$.

Declaración: No existe $\{A_\alpha\}_{\alpha\in\Gamma}$ tal que $A_\alpha\in P(C_\alpha)$ $A_\alpha\supsetneqq A_\beta$ siempre $\alpha<\beta$.

Mediante el uso de la AC podemos ver que no existe $\{A_\alpha\}_{\alpha\in\Gamma}$ tal que $A_\alpha\in P(C_\alpha)$, pero (creo que) no hay nada para garantizar la monotonía condición: $A_\alpha\supsetneqq A_\beta$ siempre $\alpha<\beta$.

Tal vez la declaración es bien conocido el resultado o la conjetura de que yo no soy consciente de que, agradecería alguna respuesta o de referencia.

Answer 1

La respuesta es negativa. Esto no es demostrable, incluso cuando asumiendo el axioma de elección. Incluso bajo el supuesto de que $\Gamma$ es un conjunto ordenado.

Deje $T$ ser un árbol de altura $\omega_1$ sin rama (ya sea un árbol de Aronszajn, suponiendo que la elección; o cualquier contraejemplo a $\sf DC_{\omega_1}$ lo contrario).

Deje $C_\alpha$$T\setminus T\restriction\alpha$, es decir, todos los nodos de la altura de, al menos,$\alpha$. La partición es fácil, $P(C_\alpha)$ es simplemente el conjunto de los subárboles encima de cada nodo en el $\alpha$th nivel de $T$.

Fácilmente, los conjuntos de $C_\alpha$ son descendente, y las particiones de perfeccionar cada uno de los otros. Pero ahora, si $A_\alpha$ es como descendente elección de la secuencia, por el hecho de que cada una de las $A_\alpha$ tiene una única raíz, esto nos daría una rama. Pero la suposición sobre la $T$ es que no tiene innumerables ramas, lo cual es una contradicción.

Answer 2

Permítanme en primer lugar ignorar a sus requisitos que $\Gamma$ es incontable y que los contenedores son estrictas, ya que estos requisitos son totalmente artificiales y no tienen nada que ver con lo que está pasando, y acaba de hacer contraejemplos un poco desordenado. Aquí, entonces, es el prototipo de contraejemplo. Deje $\Gamma=\mathbb{N}$, vamos a $C_n=\{m\in\mathbb{N}:m\geq n\}$, y deje $P(C_n)$ ser la partición de $C_n$ en singleton conjuntos. Entonces no hay secuencia de la clase de pedir, ya que cada singleton set $\{k\}$ en cualquiera de las particiones deja de existir una vez que llegue a $C_{k+1}$.

OK, ahora si usted insiste, podemos masiva de este ejemplo hasta para satisfacer todos sus requerimientos. Tomemos $\Gamma=[0,\infty)\subset\mathbb{R}$, y deje $C_x=\{(y,z)\in\mathbb{R}^2:y,z\geq x\}$, y deje $P(C_x)$ ser la partición en los conjuntos de la forma $\{y\}\times[x,\infty)$. Ahora $\Gamma$ es incontable y todas las inclusiones son estrictas, pero la secuencia de pedir no existe por la misma razón que en el primer ejemplo.