Espacio vectorial de polinomios

Question

¿Forman todos los polinomios $ax^3 + bx^2 + cx + d$ con una raíz en $x=1$ un espacio vectorial? ¿Los coeficientes $(a, b, c, d)$ forman un espacio vectorial?

Mi razonamiento: Dado que $x=1$ es una raíz, no podemos tener $(a, b, c, d)$ todos igual a cero. El espacio no incluye la matriz cero. Por lo tanto, no es un espacio vectorial

Supongamos que, $f(x)$ y $g(x)$ = polinomios de la forma $ax^3 + bx^2 + cx + d$ con raíz en $x=1$ $h(x) = f(x) + g(x)$ Dado que $x=1$ es una raíz, $f(1) = 0$ y $g(1) = 0$. $h(1) = f(1) + g(1) = 0$ ($h(x)$ también tiene una raíz en $x = 1$)

No estoy seguro sobre la matriz cero en este caso. ¿Qué se considera como "matriz cero" en polinomios?

Gracias por la ayuda de antemano.

Answer 1

Pista: Para un polinomio $ax^3+bx^2+cx+d$ que tenga una raíz en $x=1$ es equivalente a tener $a+b+c+d=0$.

Answer 2

El vector cero en este caso es $(0,0,0,0)$. Esto corresponde a los polinomios $p(x) = 0$. Tienes $p(1) = 0$ por lo tanto $p$ está en el conjunto de todos los polinomios que son cero en $1$. Así que tu conjunto sí contiene el vector cero.

Ya has demostrado que el conjunto está cerrado con respecto a la adición y ahora sabemos que también contiene el vector cero. La única cosa que queda por verificar es que también está cerrado con respecto a la multiplicación por escalar.