¿Cómo probar que $\frac{(12!)!}{12!^{11!}}$ es entero?

Question

Hasta ahora he utilizado que una combinación es un número entero así $\frac{n!}{m!(n-m)!}$ es entero. Ahora que $n=mb$ % que $\frac{mb!}{m!(mb-m)!}$.

Lo que queda es probar que $\frac{(mb)!}{m!^b}$ es entero para que pueda aplicar $m=12$ y $b =11!$

¿Cómo hacerlo?

Answer 1

Tienes la idea correcta, basta con tomar un poco más. Tenga en cuenta que

$\dfrac{(mb)!}{m!^b} = \dfrac{(mb)!}{m![m(b-1)]!} \cdot \dfrac{[m(b-1)]!}{m![m(b-2)]!} \cdot \dfrac{[m(b-2)]!}{m![m(b-3)]!} \cdots \dfrac{[3m]!}{m![2m]!} \cdot \dfrac{[2m]!}{m![m]!}$

$= \dbinom{mb}{m} \cdot \dbinom{m(b-1)}{m} \cdot \dbinom{m(b-2)}{m} \cdots \dbinom{3m}{m} \cdot \dbinom{2m}{m}$.

¿Ves por qué esto debe ser un entero?

Answer 2

$\frac{(mb)!}{m!^b}$ cuenta el número de maneras de poner $mb$ con la etiqueta bolas en $b$ etiquetado de cajas, con $m$ bolas en cada caja.

Para ver esto, tenga en cuenta que cualquiera de las formas de $(mb)!$ de ordenar las bolas nos da una manera de poner las bolas en las cajas, pero que cada configuración se deriva de $m!^b$ ordenaciones posibles (todas las formas de reorganización de las bolas dentro de las cajas).

Answer 3

Una forma ligeramente diferente de expresar JimmyK4542's respuesta es de notar que $\frac{(mb)!}{m!^b}$ es un coeficiente multinomial:

$$\frac{(mb)!}{m!^b}=\binom{mb}{\underbrace{m,\,m,\,\ldots,\,m}_{b\text{ copies}}}\;,$$

cual es el coeficiente de $x_1^mx_2^m\ldots x_b^m$$(x_1+x_2+\ldots+x_b)^{mb}$; este coeficiente es, por supuesto, un entero no negativo.

Equivalentemente, este coeficiente multinomial se puede interpretar como el número de formas de dividir el conjunto de $[mb]=\{1,2,\ldots,mb]$ a $b$ etiquetado de los conjuntos de $A_1,\ldots,A_b$, cada uno de tamaño $m$, como $\binom{2n}n$ es el número de maneras de partición de la $[2n]$ en el etiquetado de los conjuntos de $A_1$ $A_2$ (contando el número de formas de elegir los $A_1$). En primer lugar, hay $(mb)!$ maneras de lista de los elementos de $[mb]$, y podemos, a continuación, coloque la primera de las $m$ elementos de la lista en $A_1$, el segundo $m$ a $A_2$, y así sucesivamente. Sin embargo, para una determinada partición $\{A_1,\ldots,A_b\}$ los elementos de cada una de las $A_k$ podría haber sido incluidos en cualquiera de $m!$ diferentes órdenes, por lo que hay $m!^b$ diferentes permutaciones de $[mb]$ de que el rendimiento de la partición $\{A_1,\ldots,A_b\}$. Por lo tanto, el número de distintas particiones es $\frac{(mb)!}{m!^b}$. Esto es esencialmente Slade's solución.

Answer 4

Sabemos que el producto de $n$ enteros consecutivos es divisible por $n!$

Así que Aquí $1.2.3.4........................................n$ es divisible por $n!$

Del mismo modo $(n+1)\cdot(n+2)\cdot(n+3)...........(2n)$ es divisible por $n!$

Del mismo modo $(2n+1)\cdot (2n+2)\cdot ..............(3n)$ es divisible por $n!$

Del mismo modo $(3n+1)\cdot(3n+2)......................(4n)$ es divisible por $n!$

.............................................................

.............................................................

Del mismo modo $\{(k-1)n+1\}\cdot \{(k-1)n+2\}\cdot..................\{(k-1)n+n\}$ es divisible por $n!$

Así que podemos decir que $(kn)!$ es divisible por $(n!)^k$

Ahora Pon $k=(n-1)!\;,$ obtenemos $(n!)!$ es divisible por $(n!)^{(n-1)!}$

Answer 5

De hecho, si usted sabe un poco de teoría de grupo, usted puede hacer un poco mejor. Como otros han señalado, es siempre cierto que $(a!)^{b}$ divide $(ab)!$ para enteros positivos $a$$b$. Sin embargo, también es cierto que $b! (a!)^{b}$ divide $(ab)!$.

(Versión corregida): Este se puede ver el uso del Teorema de Lagrange para el grupo simétrico $S_{ab}$. Este grupo simétrico tiene un subgrupo $S_{a} \wr S_{b}$, que es un semidirect producto de un "grupo base", que es en sí mismo un producto directo de la $b$ copias de $S_{a}$, y un subgrupo isomorfo $S_{b}$ que permutes directamente estos factores de una forma natural. Este subgrupo tiene un pedido de $(!)^{b}

Por Lagrange del Teorema, $b!(a!)^{b}$ debe ser un divisor de a $(ab)!$.

La aplicación de este con $a = 12$ $b = 11!$ da que tenemos que $(11!)! (12!)^{11!}$ divide $(12!)!$.