Cómo calcular $E\left[W_t \int_0^t s \, dW_s\right]$?

Question

Quiero calcular $E\left[W_t \int_0^t s \, dW_s\right]$ donde $W_t$ es un movimiento Browniano. Mi intento a continuación se basa en algunos muy inestable matemáticas; en particular, no tengo justificación de las 4 de la igualdad, pero esto me lleva a la respuesta correcta. Puede que alguien me muestre la forma correcta de calcular esta expectativa?

$$ E\left[W_t \int_0^t s \, dW_s\right] = E\left[\int_0^t dW_s \int_0^t s \, dW_s\right] = E\left[\int_0^t \int_0^t s \, dW_s \, dW_s\right] = E\left[\int_0^t s \, dt\right]=\frac{t^2}{2} $$

Answer 1

Sugerencia: La expresión $E\left[\int_0^t dW_s \int_0^t s\,dW_s\right]$ parece útil. Ahora recuerdo la Itô isometría.

Sugerencia 2: Si sólo se conoce la Itô isometría en la forma $E\left[\left(\int_0^t A_s\,dB_s\right)^2\right] = E\left[\int_0^t A_s^2\,ds\right]$, luego pensar en la simple identidad de $ab = \frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}$. (O la palabra mágica "polarización".) O, dicho de una manera más sofisticada, una lineal mapa entre espacios de Hilbert, que preserva el (al cuadrado) de la norma conserva el interior del producto.