Videojuego (Dota 2) probabilidad

Question

En Dota 2 después de lanzar un hechizo que generalmente tienen un tiempo de reutilización de tiempo debe esperar antes de ser capaz de lanzar ese hechizo de nuevo.

En el Año de la Bestia Pelea de todos modos poderosas bestias puede tener Repaso de Aura:

Refresher Aura: When an allied hero casts a spell within 900 range of the Beast,
that spell has a 50% chance to be instantly refreshed. 

Dado que mi héroe ha de Repaso Aura activa,la probabilidad de tener mi hechizo al instante actualiza(no hay tiempo de reutilización) $n$ veces en una fila es: $\frac{1}{2}^n$.

Ahora mi pregunta es:

¿Cuál es la probabilidad de tener mi hechizo al instante actualiza $n$ veces en una fila si tengo Refresher Orb (Orb le da la capacidad para reiniciar el tiempo de reutilización de todos sus elementos y habilidades) dado que Refresher Orb puede ser instantáneamente refrescado por Repaso Aura demasiado?

Editar para hacer la pregunta más claro:

¿Cuál es la probabilidad de ser capaz de lanzar el hechizo(Orb no tiene tiempo de reutilización o el hechizo no tiene tiempo de reutilización o ambos no tienen tiempo de reutilización) después de $n$ consecutivos lanzamientos de hechizos?

Answer 1

Se puede modelar esta como una cadena de markov. Comenzamos con nuestra capacidad en tiempo de reutilización, con el repaso orbe y el aura disponible, indicar este estado 2. En caso de obtener el aura, con probabilidad 0.5, nos quedamos en el estado 2. Si no recibimos el aura, con probabilidad 0.5, utilizamos el orbe, lo que significa que el orbe es el tiempo de reutilización, pero el aura está de nuevo disponible, indicar este estado 1. Si, a continuación, volvemos a no ser la de auro tenemos tanto el aura y el orbe en tiempo de reutilización, denotan este estado 0. Obtenemos la siguiente matriz \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. Usted puede obtener la posibilidad de no correr de los tiempos de reutilización después de $n$ pasos por tomar la $n$ésima potencia de la matriz y la adición de la parte inferior derecha y derecha del número del medio.

A continuación puedes ver una imagen de cómo esta oportunidad se desarrolla durante los primeros 25 vueltas.

Answer 2

Gracias a @Marc yo era capaz de llegar con mi propia respuesta a la pregunta:

Tenemos 4 posibles estados:

$s_1$:Tanto el orbe y la ortografía están listos.

$s_2$:Orbe está listo,el hechizo es en cd(tiempo de reutilización).

$s_3$:Hechizo está listo,la esfera se encuentra en el cd.

$s_4$:Tanto el orbe y el hechizo se encuentran en el cd.

Dado que Repaso Aura está activo y funcionando, por tanto el hechizo y el orbe,se obtiene la siguiente matriz de transición: $$ P=\begin{bmatrix} 0.5 & 0.5 & 0 & 0 \\ 0.5 & 0 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 & 0.5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ La probabilidad de que estamos buscando es la probabilidad de estar en $s_{1}$ o $s_{2}$ o $s_3$ después $n$ pasos y a partir de $s_1$.

Esta probabilidad está dada por $p_{11}^n + p_{12}^n + p_{13}^n$ donde $p_{ij}^n$ $ij$th entrada de la $P^n$ matriz.

E. g. para $n=3$ obtenemos : $$ P^3=\begin{bmatrix} 0.375 & 0.25 & 0.25 & 0.125 \\ 0.25 & 0.125 & 0.25 & 0.375 \\ 0 & 0 & 0.125 & 0.875 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ y por lo $p_{11}^3 + p_{12}^3 + p_{13}^3=0.875=$ de probabilidad de ser capaz de lanzar el hechizo después de $3$ seguidos de los yesos.