Galois de un polinomio de grado siete

Question

Deje $K$ ser la división de campo de más de $\mathbb{Q}$ w.r.t. el polinomio $x^7 - 10x ^5+15x+5$. Creo que su grupo de Galois es el grupo simétrico $S_7$. Traté de demostrarlo mediante un teorema que dice: "Si el grado del polinomio es una de las principales $p$, el polinomio es irreducible y tiene exactamente dos raíces reales, entonces su grupo de Galois es $S_p$." En este caso, yo sé que $x^7 - 10x ^5+15x+5$ es irreductible (por el criterio de Eisenstein). Sin embargo, no podía estudiar sus raíces... traté de estudiar sus derivados... Mis métodos fueron efectivos en el resto de las preguntas... Alguien, por favor, saben cómo resolver este problema?

Gracias.

Answer 1

Tal vez usted encontrará esta trampa, pero echa un vistazo a esta tabla:

$$\begin{array}{c|c}i&f(i)\\ \hline-4 & -6199 \\ -3 & 203 \\ -2 & 167 \\ -1 & -1 \\ 0 & 5 \\ 1 & 11 \\ 2 & -157 \\ 3 & -193 \\ 4 & 6209 \end{array}$$

Por el teorema del valor intermedio, esto implica que $f$ tiene al menos $5$ real ceros (en los intervalos [-4,-3], [-2,-1], [-1,0], [1,2] y [3,4].

(De hecho, usted realmente no tiene que calcular $f(-4)$ $f(4)$ si se nota, en cambio, que $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty$).

Su discriminante $ \prod_{i<j} (x_i-x_j)^2$ resulta ser negativo, por lo que el polinomio no sólo tiene raíces reales. Así que debe haber al menos $2$ sin raíces reales $z$$\bar z$.

(De hecho, el discriminante es igual a $-576043678484375$, al mejor de mi conocimiento, la forma más fácil de calcular con lápiz y papel es calcular el determinante de la resultante de las $R(f,f')$ como se explica en la wikipedia.)

Así que en conjunto no debe ser exactamente $5$ bienes raíces y se puede aplicar el teorema.

Answer 2

A mí la respuesta es muy buena, pero quiero mostrar cómo se puede comprobar el número máximo de raíces con Descartes la señal de la regla :

$$f(x)=x^7-10x^5+15x+5$$ has two sign changes, so at most $2$ positivo raíces.

$$-f(-x)=x^7-10x^5+15x-5$$ has three sign changes, so at most $3$ positive roots, so $f(x)$ has at most $3$ negativa raíces.

Con Mí mismo la respuesta, se puede deducir que hay $5$ bienes raíces.