Todo subconjunto abierto de $\mathbb{R}$ puede expresarse de forma única como una unión disjunta de intervalos abiertos. ¿Esto se generaliza a $\mathbb{R}^n$ ?

Question

Sé que cada subconjunto abierto de $\mathbb{R}$ puede expresarse de forma única como una unión disjunta de intervalos abiertos. Además, sólo un número contable de intervalos aparecen en dicha descomposición.

Suponiendo que sustituimos $\mathbb{R}$ con $\mathbb{R}^n$ y "intervalos abiertos" con "subconjuntos conectados abiertos", ¿se mantiene el resultado anterior?

Answer 1

Sí, por supuesto. Deje que $U$ sea un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ . Los componentes de $U$ están abiertas en $U$ y, por tanto, en $\mathbb{R}^n$ por la conectividad local de $\mathbb{R}^n$ . (De hecho, esta condición es equivalente a la conectividad local de $\mathbb{R}^n$ (la conexión local es la palabra clave aquí)

Espero que esto ayude.