¿Por qué está bien definida la definición de integración de Lebesgue para funciones no negativas?

Question

Estoy siguiendo "Integración de Lebesgue en el espacio euclidiano" de Frank Jones. En la página 121, capítulo 6: Integración, comienza definiendo para $sS$ donde $S$ es la clase de funciones simples medibles $s$ en $\mathbb R^n$ y $s$ se presenta en la forma: $$s=\sum_{k=1}^ma_k\chi A_k$$

donde $0<a_k<$ y los conjuntos $A_k$ son medibles y disjuntos, entonces: $$\int sd\lambda =\sum_{k=1}^ma_k\lambda (A_k)$$

Un par de preguntas:

• es $\chi$ o $x$ ? Si es así $\chi$ entonces no tengo ni idea de lo que representa y si es $x$ probablemente sea una errata ya que no parece nada la otra $x$ en todo el libro.
• ¿Por qué está bien definido? A mi entender para demostrar que está bien definida necesito mostrar que siempre es posible representar la integral por $\sum_{k=1}^ma_k\lambda (A_k)$ . ¿Es esto correcto? ¿Cómo lo muestro? Aparentemente me estoy perdiendo algo obvio ya que el autor parece considerar que no es necesario demostrarlo.

Answer 1

Normalmente la notación es

$$\chi_A(x)= \left\{ \array{1 \quad \text{for } x \in A \\ 0 \quad \text{for }x \notin A }\right.$$

Esto se llama la función característica de $A$ .

Para ver que está bien definido es necesario, por ejemplo, demostrar que si se tiene otra representación de $s$ entonces se obtiene la misma integral (si, por ejemplo $A = B\cup C$ puedes escribir $\chi_{A}=\chi_B+\chi_C$ . Pero, por supuesto, pueden darse situaciones más complicadas).

Deliberadamente no lo muestro ya que lo que entiendo de tu pregunta es que quieres saber qué tienes que mostrar y quieres probar por tu cuenta.

Answer 2

En primer lugar, es $\chi$ , donde, $\chi_A(x)=1$ para $x\in A$ y $0$ en otro lugar.

En segundo lugar, la integral de la función simple está bien definida porque si tenemos la función simple $s$ y $t$ pero $s=t$ aunque tengan diferente representación, siempre podemos hacer que tengan la misma representación, de ahí que la integral sea la misma

Answer 3

Asume primero las funciones simples. Una función simple es una combinación de funciones características, donde $\chi_A(x)=1$ si $x\in A$ y $0$ en otro lugar. Ahora bien, es evidente que una función característica es medible. Por tanto, la definición es válida. Ahora observa que puedes hacer que los conjuntos que aparecen en las definiciones sean disjuntos. utiliza esto para demostrar que la definición está bien definida.