Dejemos que $\{f_n\}^\infty_{n=1}$ sea una secuencia de funciones continuas de valor real definidas en $\mathbb{R}$

Question

Dejemos que $\{f_n\}^\infty_{n=1}$ sea una secuencia de funciones continuas de valor real definidas en $\mathbb{R}$ que converge puntualmente a una función continua de valor real $f$ . d ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

a. Si $0\le f_n \le f$ para todos $n\in \mathbb{N}$ entonces

$$\lim_{n\to \infty} \int_\infty^{-\infty} f_n(t)\,dt=\int_\infty^{-\infty } f(t) \, dt$$

b. Si $|f_n(t)|\le |\sin t|$ para todos $t\in \mathbb{R}$ y para todos $n\in \mathbb{N}$ entonces $$\lim_{n\to \infty} \int_\infty^{-\infty } f_n(t) \, dt=\int_\infty ^{-\infty } f(t) \, dt$$

c. Si $|f_n(t)|\le e^t$ para todos $t\in \mathbb{R}$ y para todos $n\in \mathbb{N}$ , entonces para todos los $a,b \in \mathbb{R}$ . $a<b$

$$\lim_{n\to \infty} \int_b^a f_n(t) \, dt=\int_b^a f(t) \, dt$$

ya que la secuencia de funciones continuas de valor real definidas en $\mathbb{R}$ que converge puntualmente a una función continua de valor real $f$ entonces 1 es cierto (pero ia m no es seguro) puede usted hlep me con otras opciones too..thank you

Answer 1

Para el caso b., considere la secuencia $(f_n)$ donde $f_n(t) = \vert \sin t \vert$ para $t \in [n \pi, (n+1)\pi]$ y se desvanece en otro lugar. $(f_n)$ converge puntualmente a la función siempre evanescente.

Sin embargo, usted tiene para todos $n \in \mathbb N$

$$2 = \int_{-\infty}^\infty f_n(t) \ dt \neq \int_{-\infty}^\infty 0 \ dt =0.$$

Los casos a. y c. son consecuencias del teorema de convergencia dominado por Lebesgue que proporciona $\int_{-\infty}^\infty f(t) \ dt$ converge para el caso a. El teorema no se aplica al caso b. ya que $\int_{-\infty}^\infty \vert \sin t \vert \ dt$ diverge.

Answer 2

(a) y (c) son verdaderas. (b) es incorrecta.

- Prueba (a). Por el Lemma de Fatou se tiene: \begin {align} \int_\mathbb {R} f(x)\N-, dx \leq \liminf_ {n \to\infty } \int_\mathbb {R} f_n(x)\N-, dx \end {align} Además tenemos por monotonicidad de la integral: \begin {align} \limsup_ {n \to\infty } \int_\mathbb {R} f_n(x)\N-, dx \leq \int_\mathbb {R} f(x)\N-, dx \end {align} Por lo tanto: \begin {align} \limsup_ {n \to\infty } \int_\mathbb {R} f_n(x)\N-, dx \leq \int_\mathbb {R} f(x)\N-, dx \leq\liminf_ {n \to\infty } \int_\mathbb {R} f_n(x)\N-, dx \end {align} Así que: \begin {align} \lim_ {n \to\infty } \int_\mathbb {R} f_n(x)\N-, dx = \int_\mathbb {R}f(x)\N-, dx \end {align}

- Contraejemplo (b). Hazlo tú mismo. Ver por ejemplo @mathcounterexamples.net

- Prueba (c) . Desde $e^t$ es integrable en $[a,b]$ el resultado se desprende del Teorema de Convergencia Dominada.