Halmos "Teoría de la medida" sección 6 problema 3

Question

Esta pregunta dice: si la clase normal más pequeña que contiene una clase E se denota por N(E) , entonces , para cada semirremolque P , N(P) \= S(P) .

¿Alguien ha tenido alguna alegría con esto? He estado trabajando bajo la suposición de que la prueba de esta afirmación es muy parecida a la del Teorema B anterior ( si R es un anillo, entonces M(R) \= S(R) ) Así que estoy buscando una clase K (F) para adoptar un papel similar al del teorema. Pero todas mis opciones fallan, ya sea por estar cerradas a uniones (incluso finitas) de conjuntos discretos, o por satisfacer " N ? K (E) ? E en N implica que N es un semirremolque".

¿Estoy adoptando un enfoque completamente equivocado? Se agradece cualquier sugerencia.

Answer 1

Denote $\mathcal{R}$ el anillo generado por el semiring $\mathcal{P}.$ Entonces la clase $\mathcal{R}$ es mayor que la clase $\mathcal{P}.$ En consecuencia, $\mathcal{N}(\mathcal{P})\subset \mathcal{N}(\mathcal{R}).$ Por otro lado, cada elemento de $\mathcal{R}$ es una unión disjunta de un número finito de elementos de $\mathcal{P}$ (Halmos, $\S5$ ejercicio 3). Como $\mathcal{N}(\mathcal{P})$ es cerrado bajo la formación de uniones disjuntas contables y contiene $\mathcal{P},$ contiene $\mathcal{R}.$ Por lo tanto, $\mathcal{R}\subset \mathcal{N}(\mathcal{P})$ y $\mathcal{N}(\mathcal{R})\subset \mathcal{N}(\mathcal{P}).$ Finalmente, $\mathcal{N}(\mathcal{P})= \mathcal{N}(\mathcal{R}).$ Por lo tanto, basta con considerar el caso cuando $\mathcal{P}=\mathcal{R}$ es un anillo.

El siguiente paso es demostrar que $\mathcal{N}(\mathcal{R})$ es cerrado bajo intersecciones finitas. Al principio comprobaremos que para cada $E\in \mathcal{R}$ y cada $F\in \mathcal{N}(\mathcal{R})$ $E\bigcap F\in \mathcal{N}(\mathcal{R}).$ Para ello denota $\mathcal{K}_1(E)=\{F\in \mathcal{N}(\mathcal{R}): E\bigcap F\in \mathcal{N}(\mathcal{R})\}$ y comprueba que es una clase normal. 1ª propiedad: suponer que $F_n\in \mathcal{K}_1(E),$ $F_n\supset F_{n+1}$ entonces $E\bigcap F_n\in \mathcal{N}(\mathcal{R}),$ $E\bigcap F_n\supset E\bigcap F_{n+1}.$ Como $\mathcal{N}(\mathcal{R})$ es una clase normal, se tiene $\bigcap^{\infty}_{n=1} (E\bigcap F_n)=E\bigcap(\bigcap^{\infty}_{n=1} F_n)\in \mathcal{N}(\mathcal{R}).$ Así que, $\bigcap^{\infty}_{n=1} F_n \in \mathcal{K}_1(E)$ y $\mathcal{K}_1(E)$ es cerrado bajo la formación de intersecciones decrecientes contables. 2ª propiedad ( $\mathcal{K}_1(E)$ es cerrado bajo la formación de uniones disjuntas contables) se puede comprobar completamente de la misma manera. También hay que tener en cuenta que $\mathcal{K}_1(E)$ es una clase normal para cualquier elección del conjunto $E$ . En nuestro caso $E\in \mathcal{R},$ así que $\mathcal{R}\subset \mathcal{K}_1(E)$ ( $E\in \mathcal{R}$ y $\mathcal{R}$ es un anillo). Por lo tanto, $\mathcal{N}(\mathcal{R})\subset \mathcal{K}_1(E)$ y realmente $\mathcal{N}(\mathcal{R})=\mathcal{K}_1(E).$ Esto significa que para cada $E\in \mathcal{R}$ y cada $F\in \mathcal{N}(\mathcal{R})$ $E\bigcap F\in \mathcal{N}(\mathcal{R}).$ Ahora considere $E\in \mathcal{N}(\mathcal{R})$ y definir $\mathcal{K}_1(E)$ de la misma manera. Ya hemos demostrado que para cada $F\in \mathcal{R}$ $E\bigcap F\in \mathcal{N}(\mathcal{R}).$ En otras palabras, tenemos que $\mathcal{R}\subset \mathcal{K}_1(E).$ Pero ya hemos demostrado que $\mathcal{K}_1(E)$ es una clase normal, por lo que $\mathcal{N}(\mathcal{R})=\mathcal{K}_1(E).$ Esto significa que para todos los $E,F\in \mathcal{N}(\mathcal{R})$ $E\bigcap F\in \mathcal{N}(\mathcal{R}).$ Así que, $\mathcal{N}(\mathcal{R})$ es cerrado bajo intersecciones finitas.

Ahora mostraremos que $\mathcal{N}(\mathcal{R})$ es cerrado bajo intersecciones contables (¡no necesariamente decrecientes!). En efecto, supongamos que $F_n\in \mathcal{N}(\mathcal{R}), \ n\geq 1.$ Entonces $E_n=F_1\bigcap \ldots \bigcap F_n\in\mathcal{N}(\mathcal{R})$ (intersecciones finitas). Evidentemente, $E_n\supset E_{n+1}.$ $\mathcal{N}(\mathcal{R})$ es cerrado bajo intersecciones contables decrecientes, por lo que $\bigcap^{\infty}_{n=1} E_n=\bigcap^{\infty}_{n=1} F_n\in \mathcal{N}(\mathcal{R}).$ Así que, $\mathcal{N}(\mathcal{R})$ es cerrado bajo la formación de uniones disjuntas contables e intersecciones contables.

Se trata de demostrar que $\mathcal{N}(\mathcal{R})$ es cerrado bajo diferencias. En primer lugar, considere $E\in \mathcal{R}$ y denota $\mathcal{K}_2(E)=\{F\in \mathcal{N}(\mathcal{R}): E\setminus F\in \mathcal{N}(\mathcal{R})\}.$ $\mathcal{K}_2(E)$ es cerrado bajo uniones disjuntas: $E\setminus \bigcup^{\infty}_{n=1} F_n=\bigcap^{\infty}_{n=1} (E\setminus F_n)$ (como $\mathcal{N}(\mathcal{R})$ es cerrado bajo intersecciones contables arbitrarias). $\mathcal{K}_2(E)$ es cerrado bajo intersecciones contables: $E\setminus \bigcap^{\infty}_{n=1} F_n=\bigcup^{\infty}_{n=1} (E\setminus F_n)=\bigcup^{\infty}_{n=1} (F_1\bigcap \ldots \bigcap F_{n-1} \bigcap E\setminus F_n)$ . Por lo tanto, $\mathcal{K}_2(E)$ es una clase normal y para todo $E\in \mathcal{R},$ $F\in \mathcal{N}(\mathcal{R})$ $E\setminus F\in \mathcal{N}(\mathcal{R}).$ Entonces es fácil demostrar que $\mathcal{N}(\mathcal{R})$ es cerrado bajo diferencias y es en realidad un $\sigma-$ anillo.

Answer 2

El problema 6.2 consistía en demostrar que un σ-anillo es una clase normal; y un anillo normal es un σ-anillo. Esto es muy fácil; lo asumo a continuación.

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