Función continua s.t. $\lim_{n\to \infty }f(nx)=0$ para todos $x$ pero no $\lim_{x\to \infty }f(x)$ .

Question

Tenía un ejercicio que era : si $f:\mathbb R\longrightarrow \mathbb R$ es uniformemente continua y si $$\lim_{n\to \infty }f(nx)=0$$ para todos $x$ entonces $\lim_{x\to \infty }f(x)=0$ . He probado este resultado, pero me preguntaba por qué no funciona si $f$ se supone continua. No encuentro un contraejemplo, ¿alguna idea?

Answer 1

Creo que también es cierto para las funciones continuas: Sea $\varepsilon>0$ . Consideremos los conjuntos $A_n=\{x\in\mathbb{R}: |f(nx)|\leq\varepsilon\}$ . Desde $f$ es continuo, los conjuntos $A_n$ son cerrados (preimágenes de conjuntos cerrados bajo $f$ compuesto con otras funciones continuas). Además, dejemos que $B_n=\displaystyle{\bigcap_{k=n}^{\infty}A_k}$ . También son conjuntos cerrados y la unión $\bigcup_nB_n$ es $\mathbb{R}$ ya que para todo $x\in\mathbb{R}$ es $f(nx)\to0$ . Por el teorema de la categoría de Baire, existe $n_0$ tal que $int(B_{n_0})\neq\emptyset$ . Por lo tanto, existe $x_0$ y $r>0$ tal que para todo $n\geq n_0$ y todos $y\in(x_0-r,x_0+r)$ es $|f(ny)|\leq\varepsilon$ . Dicho esto, para todos $z\in\displaystyle{\bigcup_{n=n_0}^\infty}(n(x_0-r),n(x_0+r))$ es $|f(z)|\leq\varepsilon$ .

Si $x_0+r>0$ hemos terminado, ya que la última unión cubrirá un intervalo entero de la forma $(s,+\infty)$ .