¿Existe una fórmula para calcular el $2.357137939171\ldots$?

Question

Así que yo estaba jugando con polinomios y me encontré con la siguiente ecuación: $$26214x^3 - 27761x^2 - 71019x - 21667 = 0.$$ Solving for $x$ utilizando el cúbicos fórmula, tengo tres soluciones (como era de esperar, de conformidad con el FTOA, a saber, el Teorema Fundamental del Álgebra).

Vamos a llamar a la ecuación de $p(x)$, y se denotan por $p(x)_n$ $n^{\text{th}}$ raíz de $p(x)$.

$p(x)_{1,2}<0$ pero $p(x)_3>0$. De hecho, $$p(x)_3 = 2.3571379391713739171440\ldots$$ Notice that we begin with the first four primes $2,3,5,7$ and then we go to $1,3,7,9$. Also notice that the next four primes after $7$ are $11,13,17,19$. That's when I realised that $p(x)_3$ has its decimal places being the last digit of primes, apart from $4,4,0$.

Pregunta:

Deje $d_n$ ser el último dígito de la $n^{\text{th}}$ primo, entonces es el decimal $2.d_2d_3d_4\ldots$ trascendental? Tiene una fórmula? Puede una fórmula de construirse?

Answer 1

La trascendencia me golpea, pero tengo una prueba de la irracionalidad:

Para empezar, un aviso de que otro de los números primos $2$ o $5$, no prime puede terminar en cualquiera de $0$, $2$, $4$, $5$, $6$ o $8$, ya que esto implicaría la divisibilidad por $2$ o $5$. Por lo tanto vemos que para todos los números primos distintos de los dos, que debe terminar con $1$, $3$, $7$, o $9$.

Shiu demostrado (https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1112/S0024610799007863) que si $a$ $q$ son coprime enteros, existen arbitraria de largas cadenas de primer congruente a $a \bmod q$. Para nuestro propósito, esto implica que en nuestro número, $2.a_1a_2...$, existen arbitraria de largas cadenas de $1$s, $3$s, $7$s y $9$s. Esto es suficiente para demostrar que no puede ser racional.