Demostrar

Question

¿Es fácil comprobarlo por calculadora o computadora, y me pregunto que podemos demostrar que $$\log_5{30}<\log_8{81}\tag 1$ $ por lápiz y papel? Gracias de antemano!

Edición: $(1)$ puede ser escrito como $$1+\log_52+\log_53<\frac{4}3\log_23,$ $ pero no puedo seguir con esto.

Answer 1

En principio, seguro. Para mostrar que $$\log_5 30<\frac{4216}{1995}<\log_8 81,$ solo tenemos que comprobar %#% $ #% $ y $$30^{1995}<5^{4216}$ $ Ok, no muy útil.

Answer 2

OK, lo puedes hacer cambiando la base del logaritmo. Tenemos $log_5{30}=\frac {log_8{30}}{log_8{5}}$ y queremos mostrar que $log_5{30}=\frac {log_8{30}}{log_8{5}}<log_8{81}<=>log_8{30}<log_8{81}\cdot log_8{5}=log_8{5}^{2log_8{9}}<=>30<25^{log_8{9}}$.

Ahora $log_8{9}=\frac {ln9}{ln8}$ y ver que necesitamos mostrar que $30^{ln8}<25^{ln9}$.

Que $f(x)=25^{ln(x+1)}-30^{lnx}$ y $f(x)>0$ $x\in(0,8,0003)$ donde $8,0003$ tenemos la raíz. Puede encontrar la raíz por el método de aplicación Newton para hallar las raíces.