La proyección canónica $\pi: \nu M \rightarrow M$ es una inmersión

Question

Deje $M$ ser una subvariedad de $\mathbb{R}^n$. Mostrar que la proyección canónica $\pi: \nu M \rightarrow M$ es una inmersión. Donde $\nu M=\{(x,v)\in \mathbb{R}^n \times\mathbb{R}^n;x\in M \text{ and } v\perp T_{x}M\}$.

Mi idea inicial era mostrar que la restricción de diferenciables es diferenciable, pero no puedo escribir. Ha sido un tiempo desde que he estudiado la geometría.

Answer 1

Sólo podemos responder a si $\pi$ es diferenciable (en inmersión) si algunos diferenciable estructura en $\nu M$ es dado. Estamos considerando la canónica, dada de la siguiente manera:

Deje $(x,v)\in \nu M$. Tomar un gráfico de $\phi: U\subset M\to V\subset \Bbb R^n$, $x\in U$ (esto existe, ya que las $M$ es una variedad diferenciable). A continuación, defina $\nu\phi: \nu U\to V\times \Bbb R^n$$\nu \phi(y,u)=(\phi(y),u)$. La colección de todos los $\nu\phi$s'es un atlas de las $\nu M$. De hecho, los mapas de transición entre el $\nu\phi$ $\nu\psi$ se dan por $(q,u)\mapsto (\psi\phi^{-1}q,u)$$(q,u)\mapsto (\phi\psi^{-1}q,u)$, que es diferenciable porque sus coordenadas son diferenciables.

Vamos a demostrar que, con esta estructura, $\pi:\nu M \to M$ es diferenciable.

Deje $(x,v)$ $\nu M$ $\nu \phi$ ser tan arriba. A continuación, echemos un vistazo a la expresión de $\pi$ en las coordenadas dadas por $\nu \phi$$(x,v)\in \nu M$$\phi$$\pi(x,v)=x\in M$. Evitar escribir los bloques abiertos (dominios y codomains) implicados, la expresión se $(q,u)\in \Bbb R^n\times \Bbb R^n\overset{(\nu \phi)^{-1}}{\longmapsto} (\phi^{-1}(q),u) \in \nu M\overset{\pi}{\longmapsto} \phi^{-1}(q)\in M\overset{\phi}{\longmapsto}q\in \Bbb R^n$, es decir,$(q,u)\mapsto q$, que es diferenciable en el habitual ($\Bbb R^k$) de sentido. Por lo tanto, $\pi:\nu M \to M$ es diferenciable.

Ahora, nos muestran que la $\pi:\nu M\to M$ es una inmersión.

Considere la posibilidad de $(x,v)\in \nu M$. Tenemos que mostrar que $d\pi_{(x,v)}:T_{(x,v)}\nu M\to T_xM$ es surjective. Así, considere la posibilidad de una $v\in T_xM$ y una directiva de la curva, es decir, algunos curva diferenciable $\alpha:(-\epsilon,\epsilon)\to M$ tal que $\alpha(0)=x$$\alpha'(0)=v$. Considere la posibilidad de cualquier normales local campo de vectores $X:U\to \Bbb R^n$, $x\in U\subset M$, con $X(x)=v$. Entonces podemos definir el $\beta:I\to \nu M$$\beta(t)=(\alpha(t),X(\alpha(t)))$. Tenemos $\beta(0)=(x,v)$. De curso $\beta$ es diferenciable. Denotar $\beta'(0)=:w\in T_{(x,v)}\nu M$. Pretendemos que $d\pi_{(x,v)}\,w=v$. De hecho, \begin{align*} d_{(x,v)}\pi\,w:=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}(\pi\circ \beta(t))=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\alpha(t)=\alpha'(0)=v. \end{align*} Esto concluye la prueba.

Tenga en cuenta que la elección de un vector normal de campo $X$ era importante para garantizar que el $X(\alpha(t))\in (T_{\alpha(t)}M)^\perp$, es decir, para garantizar que $\beta:I\to \nu M$ está bien definido (quiero decir, que no podía tomar cualquier curva en $\Bbb R^n$, pasando a través de $v$: realmente necesitamos este vector normal de campo, aunque desaparece en el cálculo de $d\pi_{(x,v)}w$).