Para qué primos $p$ es $(p-6)! \equiv 1 \mod p$ ¿se define?

Question

Para qué primos $p$ es $(p-6)! \equiv 1 \mod p$ ¿se define?

Lo he forzado de forma bruta probando repetidamente muchos primos y he acabado con $p=7, p=17$ . ¿Alguien tiene un método mejor para hacer esto?

Answer 1

Reescribimos nuestra expresión como $$ (p-1)!(p-5)^{-1}(p-4)^{-1} \ldots (p-1)^{-1} \equiv 1 \mod p$$ Utilizando Teorema de Wilson nos encontramos con que: $$ -(p-5)^{-1}\ldots(p-1)^{-1} \equiv 1 \mod p$$
Pero $$ (p-5)^{-1}(p-4)^{-1} \ldots (p-1)^{-1} \equiv (-5!)^{-1} \mod p $$ Entonces, necesita encontrar $p$ : $$ -(-5!)^{-1} \equiv 1 \mod p \Leftrightarrow 5! \equiv 1 \mod p$$
Está claro que si el simple es más de 120, entonces el resto no será exactamente igual a 1, queda por ordenar los casos menos, o tratar de llegar a otra cosa.