Núcleo de $f$ donde $f(AB)=f(BA)$

Question

Dejemos que $f$ sea un funcional lineal donde $f$ no es idéntico $0$ . Si $f(AB)=f(BA)$ para todos $n \times n$ matrices $A$ y $B$ entonces $f(C)=0$ implica $C = AB-BA$ para algunos $A,B$ .

No estoy seguro de cómo demostrar que estos son los sólo matrices en el núcleo de $f$ . Construyendo $A$ y $B$ explícitamente parece demasiado difícil e intentar demostrar el contrapositivo no me lleva a ninguna parte. ¿Podría darme una pequeña pista?

Answer 1

El punto esencial a mostrar es que el set $S$ de todos los conmutadores $AB-BA$ es un subespacio del espacio de matrices cuadradas, y que tiene codimensión $~1$ entonces cualquier forma lineal no nula que desaparece en todas las $S$ necesariamente se desvanece sólo en $~S$ . Ya que se puede tomar por $f$ la función de rastreo, la propiedad requerida no es ciertamente cierta de forma vacía, y en sólo puede mantenerse si $S$ es igual al conjunto de matrices sin traza (el núcleo de la función de traza). Así que demostrar la afirmación es equivalente a demostrar que cualquier matriz sin traza está en $~S$ .

Esto es un hecho, como se indicó en un enlace proporcionado en un comentario de totoro . No es difícil ver que los conmutadores span el espacio de las matrices sin trazos, pero como no hay una forma obvia de escribir una combinación lineal de conmutadores no relacionados como otro conmutador, no parece haber un atajo para mostrar explícitamente que cada matriz sin trazos es un conmutador; no puedo dar una prueba fácil.