$${x^4 + ax^3 + bx^2 + 2018x = 207} $$ $$3a^2 < 8b$$
Mientras tratando de demostrar que esta ecuación tiene exactamente dos soluciones, he definido la función $$f(x) = {x^4 + ax^3 + bx^2 + 2018x - 207}$$ and then evaluated it at $f(0)$ to show that it is less than zero. I was going to use the Intermediate Value Theorem to prove that at some large positive and negative value result in values greater than $0.$ Pero luego no sé cómo probar que la función no cruzar más de dos veces.
Como ya se observó, $f(0)=-207<0$, mientras que el $\lim_{x\to \pm \infty}f(x)=+\infty$. Por lo tanto, por el Teorema del Valor Intermedio, hay al menos dos raíces reales: uno es positivo y otro negativo.
Ahora tenga en cuenta que $f$ es estrictamente convexo: para todos los verdaderos $x$, $$f''(x)=12x^2+6ax+2b>0$$ debido a $\Delta=36a^2-96b=12(3a^2-8b)<0$. Por lo tanto, si $f$ tiene al menos tres raíces reales, entonces, por el Valor medio Teorema, $f'$ tiene al menos dos raíces y $f''$ tiene al menos una raíz. Contradicción.
De ello se desprende que las verdaderas raíces de $f$ son exactamente dos.
$f'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx+2018$, $f''(x) = 12x^2 + 6ax + 2b = 2(6x^2+3ax+b)$.
Considere la posibilidad de $f''(x)$ como un polinomio cuadrático en $x$: $\Delta = (3a)^2-4(6)(b) = 3(3a^2-8b) < 0$, por lo $f''(x) > 0$ todos los $x \in \Bbb{R}$.
Si me permiten pedir prestado algunos de los conceptos en la convexidad, podemos eliminar la posibilidad de tener cuatro raíces reales: $f''$ es positivo implica que $f'$ es estrictamente creciente y $f$ apertura. Si hemos permitido que cuatro raíces reales, rolles-teorema que implica la existencia de tres puntos estacionarios (en $f'$ es igual a cero), lo que estaría en contradicción con el hecho de que $f'$ es estrictamente creciente.
Como el OP ha observado, $f(0) < 0$. Desde $f(x)$ tiene un líder plazo con coeficiente positivo, como $|x|$ es lo suficientemente grande, $f(x) > 0$, de modo que por el Teorema del Valor Intermedio, $f(x)$ tiene dos raíces reales.
Primaria, solución, sólo las fórmulas de Vieta
$$0 = {x^4 + ax^3 + bx^2 + 2018x - 207}$$ Since $$x_1x_2x_3x_4 = -207$$ no puede tener 4 nonreal solución.
Supongamos que todas las soluciones son reales. Desde $x_1+x_2+x_3+x_4 =-a$ $$x_1x_2+x_1x_3+...x_3x_4 = b$$ tenemos $$3a^2 = 3x_1^2+3x_2^2+...+6(x_1x_2+...) = 3x_1^2+3x_2^2+...+6b$$
Ahora desde $$x_1^2+x_2^2\geq 2x_1x_2$$ $$x_1^2+x_3^2\geq 2x_1x_3$$ $$\vdots $$ llegamos $$3x_1^2+3x_2^2+...\geq 2b\implies 3a^2\geq 8b$$ una contradicción.
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