Tengo la respuesta para $\lim \limits_{x \to \infty} {\left({3x-2 \over3x+4}\right)}^{3x+1}$, pero sólo por un error - ¿cómo se resuelve correctamente?

Question

Esto es lo que hice:

$$\lim \limits_{x \to \infty} {\left({3x-2 \over3x+4}\right)}^{3x+1}$$

1. Formulario de verificación: $\left({\infty \over \infty}\right)^{\infty}$.
2. Aplicar la Regla de L'Hospital de sólo $\lim \limits_{x \to \infty} {\left({3x-2 \over3x+4}\right)}$: $$\lim \limits_{x \to \infty} {3 \over 3} = 1$$
3. Así forman en el paso 1, es realmente $1^{\infty}$.
4. Tomar el logaritmo natural a traer el exponente abajo: $$\begin{align} \\ & \lim \limits_{x \to \infty} ln\left[{\left({3x-2 \over3x+4}\right)}^{3x+1}\right] \\ &&\\ & = \lim \limits_{x \to \infty} \space (3x+1) \cdot ln\left({3x-2 \over3x+4}\right) \\ \end{align}$$
5. Formulario de verificación: $\infty \cdot 0$.
6. Reorganizar en cociente de la forma: $$ = \lim \limits_{x \to \infty} \space {ln\left({3x-2 \over3x+4}\right) \over {1 \over 3x+1}}$$
7. Formulario de verificación: $0 \over 0$
8. Aplicar L'Hospital de la Regla y simplificar: $$\begin{align} \\ & = \lim \limits_{x \to \infty} \space {{1 \over {3x-2 \over3x+4}} \cdot {(3x+4)(3)-(3x-2)(3) \over (3x+4)^2} \over {(3x+1)(0)-(1)(3) \over (3x+1)^2}}\\ &&\\ & = \lim \limits_{x \to \infty} \space {{1 \over {3x-2 \over3x+4}} \cdot {18 \over (3x+4)^2} \over {-3 \over (3x+1)^2}}\\ &&\\ & = \lim \limits_{x \to \infty} \space {{18 \over (3x-2)(3x+4)} \over {-3 \over (3x+1)^2}}\\ &&\\ & = \lim \limits_{x \to \infty} \space {18(3x+1)^2 \over -3(3x-2)(3x+4)}\\ &&\\ & = \lim \limits_{x \to \infty} \space -{6(3x+1)^2 \over (3x-2)(3x+4)}\\ \end{align}$$
9. Formulario de verificación: ${\infty \over {\infty \cdot \infty}} = {\infty \over \infty}$.
10. Aplicar L'Hospitals Regla de nuevo y simplificar: $$\begin{align} \\ & =\lim \limits_{x \to \infty} \space -{12(3x+1)(3) \over (3)(3)}\\ &&\\ & =\lim \limits_{x \to \infty} \space -{4(3x+1)}\\ &&\\ & =\lim \limits_{x \to \infty} \space -{4(3x+1)} = \infty\\ \end{align}$$
11. Esto implica $\lim \limits_{x \to \infty} {\left({3x-2 \over3x+4}\right)}^{3x+1} = e^{\infty} = \infty$.

Pero esto está mal, que el trabajo descrito es de mí de doble comprobación de mi trabajo y encontrar un error. Yo tenía la respuesta correcta originalmente (no en el anterior trabajo), pero con el mal trabajo encontrarlo. Alguien me puede ayudar a averiguar donde me fue mal en el trabajo original y de donde me salió mal arriba?

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El original:

1. Formulario de verificación: $\left({\infty \over \infty}\right)^{\infty}$.
2. Aplicar la Regla de L'Hospital de sólo $\lim \limits_{x \to \infty} {\left({3x-2 \over3x+4}\right)}$: $$\lim \limits_{x \to \infty} {3 \over 3} = 1$$
3. Así forman en el paso 1, es realmente $1^{\infty}$.
4. Tomar el logaritmo natural a traer el exponente abajo: $$\begin{align} \\ & \lim \limits_{x \to \infty} ln\left[{\left({3x-2 \over3x+4}\right)}^{3x+1}\right] \\ &&\\ & = \lim \limits_{x \to \infty} \space (3x+1) \cdot ln\left({3x-2 \over3x+4}\right) \\ \end{align}$$
5. Formulario de verificación: $\infty \cdot 0$.
6. Reorganizar en cociente de la forma: $$ = \lim \limits_{x \to \infty} \space {ln\left({3x-2 \over3x+4}\right) \over {1 \over 3x+1}}$$
7. Formulario de verificación: $0 \over 0$
8. Aplicar L'Hospital de la Regla y simplificar: $$\begin{align} \\ & = \lim \limits_{x \to \infty} \space {{1 \over {3x-2 \over3x+4}} \cdot {(3x+4)(3)-(3x-2)(3) \over (3x+4)^2} \over {(3x+1)(0)-(1)(3) \over (3x\mathbf{\color{red}{-2}})^2 \tag{ERROR in red}}} \\ &&\\ & = \lim \limits_{x \to \infty} \space {{1 \over {3x-2 \over3x+4}} \cdot {18 \over (3x+4)^2} \over {-3 \over (3x\mathbf{\color{red}{-2}})^2}}\\ &&\\ & = \lim \limits_{x \to \infty} \space {{18 \over (3x-2)(3x+4)} \over {-3 \over (3x\mathbf{\color{red}{-2}})^2}}\\ &&\\ & = \lim \limits_{x \to \infty} \space {18(3x\mathbf{\color{red}{-2}})^2 \over -3(3x-2)(3x+4)}\\ &&\\ & = \lim \limits_{x \to \infty} \space -{6(3x\mathbf{\color{red}{-2}}) \over (3x+4)}\\ \end{align}$$
9. Formulario de verificación: ${\infty \over \infty}$.
10. Aplicar L'Hospitals Regla de nuevo y simplificar: $$\begin{align} \\ & =\lim \limits_{x \to \infty} \space -{6(3) \over (3)}\\ &&\\ & =\lim \limits_{x \to \infty} \space -{6}\\ &&\\ \end{align}$$
11. Esto funciona de a $\lim \limits_{x \to \infty} {\left({3x-2 \over3x+4}\right)}^{3x+1} = e^{-6}$

$e^{-6}$ es la respuesta correcta, pero pensé que probablemente había una mejor manera de resolver esto, el enfoque que tomó así que he revisado y, a continuación, encontrar el error. Me tropiezo en la respuesta correcta fue un accidente. Cuando traté de corregir el error de que tengo la respuesta equivocada. Cualquiera puede hacer sentido de esto por mí y muéstrame lo que estoy haciendo mal, y de cómo resolver este problema correctamente?

Answer 1

Eres bueno hasta aquí donde tomar un derivado de la incorrecta del denominador.

\begin{align} \lim \limits_{x \to \infty} \space -{6(3x-1)^2 \over (3x-2)(3x+4)} \end {Alinee el}

Incluso no tienes que aplicar la regla de L'Hopitals aquí, sólo puede comparar los coeficientes de los términos de $x^2$. No te olvides de lo negativo.

$$\lim_{x\to\infty} -\frac{6(3x-1)^2}{(3x-2)(3x+4)} = \lim_{x\to\infty} -\frac{\color{red}{54}x^2-36x+6}{\color{red}{9}x^2+6x-8} = -\frac{54}{9} = -6$$

Answer 2

Tenga en cuenta que la derivada del denominador $(3x-2)(3x+4)$ no es $(3)\cdot (3)$, sino algo más. No hay ningún caso de L'Hopital de $\frac{\infty}{\infty\cdot\infty}$, sólo un caso de $\frac{\infty}{\infty}$.

Respuesta alternativa. Escribir como:

$$\lim_{x\to\infty} \left(1-\frac{6}{3x+4}\right)^{3x+1}$$

Que $z=\frac{3x+4}{6}$ % entonces $3x+1=6z-3$así que esto es:

$$\lim_{z\to\infty} \left(1-\frac{1}{z}\right)^{6z-3}$$

Ahora, $\left(1-\frac{1}{z}\right)^z\to e^{-1}$ y $\left(1-\frac{1}{z}\right)^{-3}\to 1$. Así que el límite es de $e^{-6}$.

Answer 3

A partir de

$$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x-2}{3x+4}\right)^{3x+1}$$

modificarlo a

$$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{-6}{3x+4}\right)^{3x+1}=\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{6}{3x+4}\right)^{3x+4}\cdot\left(1-\frac 6{3x+4}\right)^{-3}$$

que inmediatamente se reduce en un $y=3x+4$ a

$$\lim_{y\to\infty}\left(1-\frac 6y\right)^y\cdot\left(1-\frac 6y\right)^{-3}=e^{-6}\cdot 1^{-3}=e^{-6}$$

Answer 4

He aquí cómo me gustaría abordar el problema: esta forma tiene la ventaja de no necesitar de L'Hospital (siempre y cuando usted sabe la clásica definición de límite de $e$). Tenemos un denominador de $3x+4$, lo cual es un inconveniente real valor, así que vamos a hacer un cambio de variables y establecer $y=3x+4$; a continuación, $\lim\limits_{x\to\infty}$ se traduce a $\lim\limits_{y\to\infty}$, y nuestro convierte en la expresión de $\lim\limits_{y\to\infty}\left(\dfrac{y-6}{y}\right)^{y-3}$. Ahora podemos simplificar la expresión en paréntesis: $\lim\limits_{y\to\infty}\left(1+\dfrac{(-6)}{y}\right)^{y-3}$ = $\lim\limits_{y\to\infty}\left(1+\dfrac{(-6)}{y}\right)^{y}\cdot\left(1+\dfrac{(-6)}{y}\right)^{-3}$. Utilizando el estándar límite de $\lim\limits_{n\to\infty}\left (1+\frac xn\right)^n = e^x$ el término izquierda evalúa a $e^{-6}$, y, por supuesto, el término derecho se va a $1^{-3}=1$.