El topologists curva sinusoidal es el conjunto:
$$ T =\left\{\left(x, \sin\left(\frac{1}{x}\right)\right): x \in (0,1) \right\} \cup\{(0,y):y\in \mathbb{R}\}$$
Común (¡y divertido!) el ejercicio es demostrar que el conjunto está conectado. La respuesta habitual es así:
(1) la gráfica de la función $f(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ es la gráfica de una función continua sobre la conexión de un dominio, por lo que hay un homeomorphism entre su dominio y el gráfico, por lo que el gráfico está conectado
(2) $(0,0)$ es un punto límite de la gráfica, por lo que si añadimos a eso el set de conexión, se conserva
(3) $T$ es la unión del conjunto construido en el último paso y el $y$ eje, siendo la unión de dos personas que no son disjuntas conjuntos conectados, $T$ también está conectado.
Estoy interesada en resolver el problema directamente en el paso 1 por encontrar un mapa continuo de algunos simple conjunto conectado a $T$.
Mi (mal) candidato sería: Vamos a $M = \{(0,y) \in \mathbb{R}^2 : y \in \mathbb{R} \}\cup\{(x,0) \in \mathbb{R}^2 : x \in (0,1) \}$. Deje $g:M\to T$ se define como:
$$g(x,y) = \begin{cases} (x,\sin\left(\frac{1}{x}\right)) & \mbox{if %#%#%,}\\\ (x,y) & \mbox{otherwise}\end{casos} $$
La función de "transformar" la conexión de un subconjunto de la $0\lt x \lt 1$ eje en $x-y$, pero ahora veo que mi construcción no es continua*. Podríamos cambiar $T$ en alguna manera para que sea continua? O tal vez hay otro conectado (y simple!) conjunto para el que no es un mapa continuo en $g$?
*se puede obtener una secuencia $T$ $(X_k,0)$ ir $M$, pero para los que $(0,0)$ no va a $g(X_k,0)$
** Yo no tengo ninguna definición de "simple", espero que les hace sentido
