Linealidad de las integrales indefinidas

Question

Estoy tratando de dar sentido a la "linealidad" de las integrales indefinidas.

Limitémonos al caso unidimensional. Lo que quiero decir es que $\int 0\, dx = C \in \mathbb{R}$ Así que no puedo decir que $\int$ es un operador lineal. De hecho, la linealidad de $f \colon V \rightarrow W$ ( $V,W$ espacios vectoriales) implica $f(0) = 0$ .

Para definir $\int \colon V \rightarrow W$ de buena manera, debería introducir una relación de equivalencia $\sim$ en $W$ diciendo que dos elementos están en la misma clase de equivalencia si coinciden hasta una constante. Así que $\int$ se convierte en lineal como operador $\int \colon V \rightarrow W_{/\sim}$ . Supongamos una primitiva de $f$ es $F$ . Entonces $$\int f(x)\,dx = [F(x)] \in W_{/\sim}$$ o, como siempre, $F(x)+C, C \in \mathbb{R}$ . Así que yo diría que el resultado de una integral indefinida es en realidad un coset en algún espacio vectorial cotizante. Esto incluso resuelve el problema de que $\int \colon V \rightarrow W $ no es una función bien definida.

Mi pregunta es: ¿es ésta una buena forma de pensar, o hay otra mejor? Nunca he visto algo así, ni en un curso de Análisis, ni en los libros que he leído. Me pregunto por qué. Parece algo muy natural al introducir integrales indefinidas.

Answer 1

Por supuesto, esta es una buena manera de pensar. Pero necesitamos una notación adicional. Dado un intervalo $J\subset{\mathbb R}$ llamar a dos funciones $F : J\to{\mathbb R}$ , $\>G:J\to{\mathbb R}\>$ equivalente si $F-G$ es constante en $J$ . Entonces es fácil ver que las clases de equivalencia $\langle F\rangle$ forman un espacio vectorial real de forma obvia. Sea $V$ sea el subespacio generado por el $C^1$ -funciones en $J$ . Entonces $$D:\quad V\to C^0(J), \qquad\langle F\rangle\mapsto F'$$ es un isomorfismo lineal cuya inversa es la integral indeterminada: $$\int:\quad f\mapsto \int f(t)\>dt\ .$$ De este modo, cada "regla de diferenciación" genera una "regla de integración" de la siguiente manera: $$F'=f\quad\Longrightarrow\quad \int f(t)\>dt=\langle F(t)\rangle\ .$$ Y así sucesivamente.

Answer 2

Consulte la sección sobre notación de operadores aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Linearity_of_integration

Debería responder a su pregunta. Podemos tratar la integral como la inversa del operador diferencial que toma sus valores en algún espacio vectorial modulando las funciones constantes como el núcleo completo del operador diferencial.

Observación: Es posible que haya formas mejores, o quizás más complicadas, de pensar en la integral. Dependiendo de para qué la necesites, supongo. Parece que definitivamente le estás dando sentido.