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¿Es una paradoja si demuestro algo como indemostrable?

La conjetura de Goldbach afirma:

Es posible escribir todos los números pares mayores que 2 como dos primos.

Supongamos que puedo demostrar que la Conjetura de Goldbach es indemostrable a partir de la aritmética de Peano. Eso significaría que no podría demostrar la conjetura, ni la negación.

¿Pero eso no significaría que no puedo encontrar un contraejemplo? Porque eso sería una prueba finita para demostrar que su negación es cierta. Y si no puedo encontrar un contraejemplo, ¿no implica eso que la conjetura es cierta?

En otras palabras, ¿no sería una prueba a la conjetura si puedo demostrar que es indemostrable?

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¿Es cierto que si no se puede encontrar un contraejemplo, entonces no hay contraejemplo?

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Si la conjetura de Goldbach es falsa, puede verificarlo, ya que puede hacer funcionar un ordenador el tiempo suficiente para encontrar un contraejemplo $2n$ . Así que si la Conjetura de Goldbach es falsa, entonces es demostrable.

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¿Cree que puede demostrar que es indemostrable en la aritmética de Peano?

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user21820 Puntos 11547

Indemostrable Indecidible. Si PA no puede demostrar ni la conjetura ni su negación, es indecidible en PA.

Si alguna vez demuestra tal resultado, ciertamente no puede estar trabajando dentro de PA, porque PA no puede demostrar que no puede demostrar algo, de lo contrario PA puede demostrar que no puede demostrar contradicción, lo cual es imposible por el segundo teorema de incompletitud de Godel (suponiendo que PA es consistente). Por lo tanto, hay ninguna paradoja tu prueba de la improbabilidad sobre PA tiene que ser una prueba en algún sistema que no sea PA.

Así que fijemos su sistema fundacional MS como cualquier sistema formal razonable (al menos prueba la existencia de un modelo de PA), y razonemos dentro de MS. Si PA no refuta a Goldbach, entonces PA no prueba su negación, que es una $_1$ -y, por tanto, esa negación no puede ser cierta porque PA es $_1$ -completa. Así que si PA no refuta Goldbach, entonces Goldbach es realmente cierto.

La salvedad es que estás trabajando dentro de MS, por lo que al menos deberías convencerte de que MS es coherente. Observe que si MS es inconsistente, usted (trabajando dentro de MS) podría probar que PA no prueba Goldbach, pero eso no significaría nada.

Nótese que este argumento no se aplica necesariamente a otros problemas abiertos. Por ejemplo, la conjetura de los primos gemelos puede escribirse como un $_2$ -y actualmente no se sabe si es equivalente a una oración de menor complejidad, por lo que el argumento no funciona, ya que PA no es $_2$ -completa.

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Para una breve descripción de la clasificación de las penas, véase este artículo de Wikipedia .

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Gracias ¿Qué quiere decir con EM? No lo he encontrado en el artículo relacionado.

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@Adam: Lo siento, olvidé explicar ese acrónimo. Generalmente uso "MS" para denotar "meta-sistema", especialmente cuando quiero razonar a 3 niveles, NL (lenguaje natural) y MS (meta-sistema) y el sistema formal bajo estudio. =)

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