Indemostrable Indecidible. Si PA no puede demostrar ni la conjetura ni su negación, es indecidible en PA.
Si alguna vez demuestra tal resultado, ciertamente no puede estar trabajando dentro de PA, porque PA no puede demostrar que no puede demostrar algo, de lo contrario PA puede demostrar que no puede demostrar contradicción, lo cual es imposible por el segundo teorema de incompletitud de Godel (suponiendo que PA es consistente). Por lo tanto, hay ninguna paradoja tu prueba de la improbabilidad sobre PA tiene que ser una prueba en algún sistema que no sea PA.
Así que fijemos su sistema fundacional MS como cualquier sistema formal razonable (al menos prueba la existencia de un modelo de PA), y razonemos dentro de MS. Si PA no refuta a Goldbach, entonces PA no prueba su negación, que es una $_1$ -y, por tanto, esa negación no puede ser cierta porque PA es $_1$ -completa. Así que si PA no refuta Goldbach, entonces Goldbach es realmente cierto.
La salvedad es que estás trabajando dentro de MS, por lo que al menos deberías convencerte de que MS es coherente. Observe que si MS es inconsistente, usted (trabajando dentro de MS) podría probar que PA no prueba Goldbach, pero eso no significaría nada.
Nótese que este argumento no se aplica necesariamente a otros problemas abiertos. Por ejemplo, la conjetura de los primos gemelos puede escribirse como un $_2$ -y actualmente no se sabe si es equivalente a una oración de menor complejidad, por lo que el argumento no funciona, ya que PA no es $_2$ -completa.
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¿Es cierto que si no se puede encontrar un contraejemplo, entonces no hay contraejemplo?
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Si la conjetura de Goldbach es falsa, puede verificarlo, ya que puede hacer funcionar un ordenador el tiempo suficiente para encontrar un contraejemplo $2n$ . Así que si la Conjetura de Goldbach es falsa, entonces es demostrable.
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¿Cree que puede demostrar que es indemostrable en la aritmética de Peano?
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Adam: Prueba es un verbo (probar, el infinitivo. Decimos, por ejemplo, yo demuestro, tú demuestras, él demuestra, ella demuestra, nosotros demostramos, ellos demuestran... una afirmación). A Prueba de una declaración es aquello a lo que esperamos llegar tras probando la declaración.
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Pongamos otro ejemplo Teorema de Goodstein sobre ciertas secuencias aritméticamente definidas de crecimiento rápido que terminan en $0$ - no puede demostrarse en la aritmética de Peano (esa afirmación es el teorema de Kirby-Paris), pero es cierta (y puede demostrarse utilizando técnicas ajenas a la aritmética de Peano), por lo que no existen contraejemplos
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@Fimpellizieri Al menos en el contexto de los números naturales, sí. Porque no poder encontrar un contraejemplo equivale a decir que un programa que enumera números naturales y se detiene cuando encuentra un contraejemplo nunca termina.
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@Henry ¿Entonces el teorema de Kirby-Paris ya implica que la afirmación es cierta? Porque si uno sabe que es indemostrable dentro de PA, ¿entonces no puede construir un contraejemplo? Entonces, ¿la otra demostración con números ordinales es corta y bonita, pero no necesaria?
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El teorema de Kirby-Paris (que el teorema de Goodstein no se puede demostrar en aritmética Peano) también utiliza técnicas fuera de la aritmética Peano, y es una prueba más difícil que el uso de números ordinales. Eso significa que hace falta algo especial para pruebe Teorema de Goodstein a pesar de no haber contraejemplos
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@Henry si no hay contraejemplos, ¿cómo es posible que la afirmación sea errónea?
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Una afirmación puede ser cierta, pero puede no ser demostrable dentro de las limitaciones de ciertas técnicas. Puedes utilizar regla y compás para construir un número irracional como $\sqrt{2}$ . Del mismo modo $\sqrt[3]{2}$ existe como número ya que es posible duplicar un cubo ( por ejemplo, con papiroflexia ), pero no es posible demostrar esta existencia dentro de las limitaciones de las construcciones de regla y compás
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@Henry: Por cierto, el teorema de Goodstein no necesita ordinales para demostrarse. En primer lugar, basta con demostrar que el juego de la hidra termina. En efecto, la terminación del juego de la hidra está implícita en el buen ordenamiento de $_0$ pero también se puede demostrar en ACA (que no es más que PA más extensión conservadora más inducción). En general, parece que algunos resultados pueden obtenerse mediante un principio de inducción más fuerte o un principio de ordenación más fuerte.