Esto es para explicar cómo mostrar el resultado sin el análisis de Fourier, sólo el uso de secuencias infinitas de cabezas y colas, tan familiar para probabilists, y a establecer un paralelo con el quizás mejor conocido doblando el mapa.
En primer lugar, la duplicación del mapa. Como es bien sabido, la unidad de intervalo de $[0,1]$ es bimeasurably equivalente a null establece para la medida de Lebesgue, a las infinitas dimensiones discretas cube $\{0,1\}^\mathbb N$ por el diádica asignación de $x\mapsto\epsilon=(\epsilon_n)_{n\geqslant1}$ definido, hasta null establece para la medida de Lebesgue, por
$$
x=\sum_{n=1}^\infty\frac{\epsilon_n}{2^n}.
$$
A continuación, la duplicación de mapa de $B:[0,1]\to[0,1]$ definido por $B(x)=2x\bmod{1}$, corresponde el turno de $\beta$ definido en $\{0,1\}^\mathbb N$ por
$$
(\beta\epsilon)_n=\epsilon_{n+1}
$$
para cada $n$. Por lo tanto, para todos no negativos $k$, $$
(\beta^k\epsilon)_n=\epsilon_{n+k}
$$
para cada $n$, $B$ deja invariante la medida de Lebesgue en $[0,1]$ $\beta$ deja invariante el producto uniforme medida en $\{0,1\}^\mathbb N$. Además, si $x$ es uniforme en $[0,1]$ $(\epsilon_n)_{n\geqslant1}$ es yo.yo.d. Bernoulli uniforme en $\{0,1\}$ por lo tanto, mediante la prueba de Kolmogorov-cero uno de la ley, la cola de sigma-álgebra
$$
\bigcap_{k\geqslant0}\sigma(\beta^k)=\bigcap_{k\geqslant0}\sigma(\epsilon_n;n\geqslant k)
$$
es trivial, es decir, $\beta$ es ergodic para el uniforme medida en $\{0,1\}^\mathbb N$ por lo tanto, lo que es equivalente, $B$ es ergodic para la medida de Lebesgue en $[0,1]$.
Ahora, a la tienda del mapa de $T:[0,1]\to[0,1]$ definido por $T(x)=\min(2x,2-2x)$. Esta vez, nos codificar todos los $x$ $[0,1]$ por alguna secuencia $\eta=(\eta_n)_{n\geqslant1}$ $\{-1,1\}^\mathbb N$ (el reemplazo de $\{0,1\}$ $\{-1,1\}$ es meramente cosmética) a través de la identidad
$$
x=\frac12-\frac12\sum_{n=1}^\infty\frac{\eta_n}{2^n}.
$$
Para familiarizarse con este algo no estándar de expansión, tenga en cuenta que los intervalos de $(0,\frac12)$, $(\frac12,1)$, $(0,\frac14)$, $(\frac14,\frac12)$, $(\frac12,\frac34)$ y $(\frac34,1)$ corresponden a $\eta_1=1$,$\eta_1=-1$,$\eta_1=\eta_2=1$,$\eta_1=-\eta_2=1$, $\eta_1=-\eta_2=-1$ $\eta_1=\eta_2=-1$ respectivamente.
Un hecho clave es que, si $x$ es uniforme en $[0,1]$ $(\eta_n)_{n\geqslant1}$ es (de nuevo) yo.yo.d. Bernoulli uniforme (pero esta vez) en $\{-1,1\}$. Además, el mapa de $T$ corresponde a la de un trenzado de cambio $\vartheta$ definido por $$(\vartheta\eta)_n=\eta_1\eta_{n+1}$$ for every $n$. The proof is direct: $x<\frac12$ corresponds to $\eta_1=1$, then $$
x=\frac14-\frac12\sum_{n=2}^\infty\frac{\eta_n}{2^n}
$$
por lo tanto
$$
Tx=2x=\frac12-\frac12\sum_{n=1}^\infty\frac{\eta_{n+1}}{2^n}=\frac12-\frac12\sum_{n=1}^\infty\frac{\eta_1\eta_{n+1}}{2^n}
$$
Asimismo, $x>\frac12$ corresponde a $\eta_1=-1$, luego
$$
x=\frac34-\frac12\sum_{n=2}^\infty\frac{\eta_n}{2^n}
$$
por lo tanto
$$
Tx=2-2x=\frac12+\frac12\sum_{n=1}^\infty\frac{\eta_{n+1}}{2^n}=\frac12-\frac12\sum_{n=1}^\infty\frac{\eta_1\eta_{n+1}}{2^n}
$$
Ahora, repitiendo el cambio de $\vartheta$ es simple, ya que, para todos no negativos $k$, $$(\vartheta^k\eta)_n=\eta_k\eta_{n+k}$$ for every $n$, thus, $$
\bigcap_{k\geqslant0}\sigma(\vartheta^k)\subseteq\bigcap_{k\geqslant0}\sigma(\eta_n;n\geqslant k)
$$
es trivial (y la inclusión es una identidad), que es, $\vartheta$ es ergodic para el uniforme medida en $\{-1,1\}^\mathbb N$ por lo tanto, lo que es equivalente, $T$ es ergodic para la medida de Lebesgue en $[0,1]$.
