Ergodicity de tienda de campaña mapa

Question

El sistema dinámico $T:[0,1]\to [0,1]$ definido por
$$T(x) = \begin{cases} 2x, & \text{for } 0\leq x\leq \frac{1}{2}\\ 2-2x, & \text{for } \frac{1}{2}\leq x\leq 1 \end{casos}$$ se llama la tienda del mapa. Demostrar que $T$ es ergodic con respecto a la medida de Lebesgue.

Mi trabajo:

Medir la preservación de mapa es ergodic si para cada T-invariante medibles conjunto es $m(A)=1$ o $m(A)=0$ (por definición).

Vamos a demostrar que $T$ conserva la medida de Lebesgue. Es suficiente para probar para los intervalos de $[a,b]$ que $m(T^{-1}[a,b])=m([a,b])$ mantiene. Desde $T^{-1}[a,b]=[\frac{a}{2},\frac{b}{2}]\cup [\frac{2-b}{2},\frac{2-a}{2}]$,$m(T^{-1}[a,b])=m([\frac{a}{2},\frac{b}{2}]\cup [\frac{2-b}{2},\frac{2-a}{2}])=m([\frac{a}{2},\frac{b}{2}])+m([\frac{2-b}{2},\frac{2-a}{2}])=b-a=m([a,b])$. Por lo tanto, $T$ es la medida de preservación.

Ahora, estoy atascado y no sabes cómo probar que el mapa es ergodic. Cualquier ayuda es bienvenida. Gracias de antemano.

Answer 1

Esto es para explicar cómo mostrar el resultado sin el análisis de Fourier, sólo el uso de secuencias infinitas de cabezas y colas, tan familiar para probabilists, y a establecer un paralelo con el quizás mejor conocido doblando el mapa.

En primer lugar, la duplicación del mapa. Como es bien sabido, la unidad de intervalo de $[0,1]$ es bimeasurably equivalente a null establece para la medida de Lebesgue, a las infinitas dimensiones discretas cube $\{0,1\}^\mathbb N$ por el diádica asignación de $x\mapsto\epsilon=(\epsilon_n)_{n\geqslant1}$ definido, hasta null establece para la medida de Lebesgue, por $$x=\sum_{n=1}^\infty\frac{\epsilon_n}{2^n}.$$ A continuación, la duplicación de mapa de $B:[0,1]\to[0,1]$ definido por $B(x)=2x\bmod{1}$, corresponde el turno de $\beta$ definido en $\{0,1\}^\mathbb N$ por $$(\beta\epsilon)_n=\epsilon_{n+1}$$ para cada $n$. Por lo tanto, para todos no negativos $k$, $$(\beta^k\epsilon)_n=\epsilon_{n+k}$$ para cada $n$, $B$ deja invariante la medida de Lebesgue en $[0,1]$ $\beta$ deja invariante el producto uniforme medida en $\{0,1\}^\mathbb N$. Además, si $x$ es uniforme en $[0,1]$ $(\epsilon_n)_{n\geqslant1}$ es yo.yo.d. Bernoulli uniforme en $\{0,1\}$ por lo tanto, mediante la prueba de Kolmogorov-cero uno de la ley, la cola de sigma-álgebra $$\bigcap_{k\geqslant0}\sigma(\beta^k)=\bigcap_{k\geqslant0}\sigma(\epsilon_n;n\geqslant k)$$ es trivial, es decir, $\beta$ es ergodic para el uniforme medida en $\{0,1\}^\mathbb N$ por lo tanto, lo que es equivalente, $B$ es ergodic para la medida de Lebesgue en $[0,1]$.

Ahora, a la tienda del mapa de $T:[0,1]\to[0,1]$ definido por $T(x)=\min(2x,2-2x)$. Esta vez, nos codificar todos los $x$ $[0,1]$ por alguna secuencia $\eta=(\eta_n)_{n\geqslant1}$ $\{-1,1\}^\mathbb N$ (el reemplazo de $\{0,1\}$ $\{-1,1\}$ es meramente cosmética) a través de la identidad $$x=\frac12-\frac12\sum_{n=1}^\infty\frac{\eta_n}{2^n}.$$ Para familiarizarse con este algo no estándar de expansión, tenga en cuenta que los intervalos de $(0,\frac12)$, $(\frac12,1)$, $(0,\frac14)$, $(\frac14,\frac12)$, $(\frac12,\frac34)$ y $(\frac34,1)$ corresponden a $\eta_1=1$,$\eta_1=-1$,$\eta_1=\eta_2=1$,$\eta_1=-\eta_2=1$, $\eta_1=-\eta_2=-1$ $\eta_1=\eta_2=-1$ respectivamente.

Un hecho clave es que, si $x$ es uniforme en $[0,1]$ $(\eta_n)_{n\geqslant1}$ es (de nuevo) yo.yo.d. Bernoulli uniforme (pero esta vez) en $\{-1,1\}$. Además, el mapa de $T$ corresponde a la de un trenzado de cambio $\vartheta$ definido por $$(\vartheta\eta)_n=\eta_1\eta_{n+1}$$ for every $n$. The proof is direct: $x<\frac12$ corresponds to $\eta_1=1$, then $$x=\frac14-\frac12\sum_{n=2}^\infty\frac{\eta_n}{2^n}$$ por lo tanto $$Tx=2x=\frac12-\frac12\sum_{n=1}^\infty\frac{\eta_{n+1}}{2^n}=\frac12-\frac12\sum_{n=1}^\infty\frac{\eta_1\eta_{n+1}}{2^n}$$ Asimismo, $x>\frac12$ corresponde a $\eta_1=-1$, luego $$x=\frac34-\frac12\sum_{n=2}^\infty\frac{\eta_n}{2^n}$$ por lo tanto $$Tx=2-2x=\frac12+\frac12\sum_{n=1}^\infty\frac{\eta_{n+1}}{2^n}=\frac12-\frac12\sum_{n=1}^\infty\frac{\eta_1\eta_{n+1}}{2^n}$$ Ahora, repitiendo el cambio de $\vartheta$ es simple, ya que, para todos no negativos $k$, $$(\vartheta^k\eta)_n=\eta_k\eta_{n+k}$$ for every $n$, thus, $$\bigcap_{k\geqslant0}\sigma(\vartheta^k)\subseteq\bigcap_{k\geqslant0}\sigma(\eta_n;n\geqslant k)$$ es trivial (y la inclusión es una identidad), que es, $\vartheta$ es ergodic para el uniforme medida en $\{-1,1\}^\mathbb N$ por lo tanto, lo que es equivalente, $T$ es ergodic para la medida de Lebesgue en $[0,1]$.

Answer 2

Hay una bonita forma estándar para probar ergodicity de una cierta clase de mapas: el uso de la Lebesgue Densidad y Teorema de la siguiente delimitada la distorsión de la propiedad $$\begin{align*} \dfrac{m(T^k(E_1))}{m(T^k(E_2))}=\dfrac{m(E_1)}{m(E_2)} \end{align*}$$ para cada par de subconjuntos medibles $E_1,E_2$ de cualquier intervalo de $I$ donde $T^k$ es un bijection. Si usted necesita más información, no dude en preguntar.