Demostrar que el local de la conectividad es preservada por cerrado continuo de las funciones de

Question

Pensé acerca de la aplicación de la prueba para abrir funciones, a saber:

Proposición: Si $f$ es un continuo abrir la función de un conectadas localmente espacio de $X, \tau$ en un espacio de $T, \tau'$, $Y$ está conectado localmente.

Prueba: Supongamos $y \in Y$ $U$ es cualquier barrio de $y$. Desde $f$ a, se $x \in X$ tal que $f(x) = y$. A continuación, $f^{-1}(U)$ es un barrio de $x$. Desde $X$ está conectado localmente, hay conectado un vecindario $V$$x$. Desde $f$ es continua y abierta, $f(V)$ está conectado a un barrio de $y$$f(V) \subset U$. Por lo tanto, $Y$ está conectado localmente.

Quiero aplicar esto de alguna manera, pero no puedo encontrar una manera de cómo.

Creo que podríamos intentar aplicar los componentes de este. Los componentes están cerradas, pero si tenemos local de la conexión, a continuación, sabemos que están clopen, lo que significa que podría ser capaz de viajar a lo largo de la función a través de la abierta atributo y, a continuación, afirmar algo acerca de ser cerrado. Dicho esto, el problema es que asumamos que tenemos un cerrado continuo de la función. Sí, bastante pegado en esto.

Answer 1

Podemos unificar los casos de abierto / cerrado surjective mapas en una sola prueba: son cociente de mapas, es decir, $f^{-1}[O]$ está abierto en $X$ fib $O$ está abierto en $Y$, para todos los $O \subset Y$.

Estándar de hecho: un espacio de $X$ está conectado localmente iff los componentes de cada abrir el subespacio $O$ están abiertos (en $O$ o $X$, que es la misma). Esto es en todos los libros de texto.

Ahora si $O \subset Y$ es abierto y $C \subset O$ es un (conectado) componente de $O$, a continuación, compruebe que todos los componentes de $f^{-1}[C]$ es un componente de $f^{-1}[O]$, mediante la continuidad de la $f$. Siguiente, $f^{-1}[O]$ está abierto en $X$, de manera local, de conexión, de $X$ sabemos que todos los componentes de $f^{-1}[C]$ están abiertos en ella, y por lo $f^{-1}[C]$ está abierto. Pero, a continuación, $f$ cociente da ese $C$ está abierto en $O$ y listo.

Así que tenemos una más general de la prueba utilizando la noción de cociente de mapas.