Resolver la línea integral sin usar el teorema de Green

Question

Buenos días a todos, soy un nuevo usuario aquí y tengo el siguiente problema que estoy tratando desde ayer pero no puedo encontrar la respuesta correcta. Este es el problema

Calcule $$ \oint_C (x^2-2xy)dx+(x^2y+3)dy$$ donde $C$ es la curva cerrada de la región delimitada por $y^2=8x$ y $x=2$ .

Vale, usando el teorema de Green, tengo $$ \oint_C (x^2-2xy)dx+(x^2y+3)dy= \int_ {-4}^4 \int_ {y^2/8}^{2}(2xy+2x)dxdy= \frac {128}{5}$$ pero sin usar el teorema, tengo

La región delimitada por $y^2=8x$ y $x=2$ se intersectan en $(2,-4)$ y $(2,4)$ Por lo tanto

La línea integral a lo largo de $x=2$ es igual a $$ \int_ {x=2}^{2}(x^2-2xy)dx+(x^2y+3)dy=0 \tag {*}$$ y la línea integral a lo largo de $y^2=8x$ es igual a $$ \begin {align} \int_ {y=4}^{-4} \left ( \left ( \frac {y^2}{8} \right )^2-2 \left ( \frac {y^2}{8} \right )y \right )d \left ( \frac {y^2}{8} \right )+ \left ( \left ( \frac {y^2}{8} \right )^2y+3 \right )dy&= \int_ {y=4}^{-4} \left ( \frac {5y^5}{256}- \frac {y^4}{16}+3 \right )dy \\ &= \frac {8}{5} \end {align}$$ Entonces, ¿dónde está mi error? ¿Podría alguien de aquí ayudarme? Gracias por tus comentarios y respuestas, te lo agradezco.

Answer 1

Use la parametrización. Ese es el truco para hacer problemas integrales de línea.
Toma $y=t$ y $x= \frac {t^2}{8}$ en Path-I y $x=2,dx=0$ en Path-II

Así que tu línea integral $$ \oint = \oint_ {I}+ \oint_ {II}$$
Ahora $$ \oint_1 = \int_ {4}^{-4}[( \frac {t^4}{64}- \frac {t^3}{4}) \cdot \frac {t}{4}dt+( \frac {t^5}{64}+3)dt]$$ $$= \int_ {4}^{-4}[( \frac {t^5}{256}- \frac {t^4}{16}+ \frac {t^5}{64}+3)dt]$$ $$=[- \frac {t^5}{64}]_{4}^{-4}$$ ya que las otras funciones son funciones impar, por lo que sus integrales son $0$ $$= \frac {128}{5}$$ Y $$ \oint_2 = \int_ {-4}^{4}(4y+3)dy$$ $$=0$$ ya que la función es impar.

Así que tu respuesta es $ \oint = \frac {128}{5}$

Answer 2

El error de cálculo está marcado con (*). Para calcular la integral en el segmento $x=2$ es necesario parametrizar el segmento, por ejemplo, como $r(t)=(x(t),y(t))=(2,t)$ , $t \colon -4 \to 4$ así que $dx=0$ , $dy=dt$ y la línea integral se convierte en $$ \int_ {-4}^4(4t+3)\,dt=24. $$ Es sólo la "proyección sobre $x$ "-la parte de la integral es cero.

P.D. No olvides mencionar (pensar en) el orientación cuando se trata de integrales de línea/superficie.